16-x^2/x^2+8x+16сократить дробь
16-x^2/x^2+8x+16сократить дробь
Для сокращения данной дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители и выделить общие сомножители для их сокращения.
Чтобы разложить x^2+8x+16 на множители, нужно найти два числа, сумма которых равна 8 (коэффициент перед x) и произведение которых равно 16 (свободный член). Эти числа будут 4 и 4, так как 4+4=8 и 4*4=16. Тогда x^2+8x+16 можно представить в виде (x+4)(x+4) или (x+4)^2.
Теперь мы можем записать нашу исходную дробь в виде (16-x^2)/((x+4)^2). Заметим, что числитель 16-x^2 также можно представить как (4+x)(4-x) или (4+x)(2+x)(2-x), что поможет нам в сокращении дроби.
Итак, исходная дробь (16-x^2)/(x^2+8x+16) после сокращения примет вид (4+x)(2+x)(2-x)/((x+4)^2).
Чтобы сократить дробь (\frac{16 - x^2}{x^2 + 8x + 16}), мы сначала разложим числитель и знаменатель на множители, если это возможно.
Числитель: (16 - x^2)
Это выражение можно рассматривать как разность квадратов, так как (16 = 4^2). Формула разности квадратов выглядит следующим образом:
[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ]
Применяя эту формулу к числителю, мы получаем:
[ 16 - x^2 = (4)^2 - (x)^2 = (4 - x)(4 + x) ]
Знаменатель: (x^2 + 8x + 16)
Это квадратный трёхчлен, который может быть разложен на множители, если он представляет собой полный квадрат. Для этого попробуем представить его в виде:
[ (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 ]
Сравнивая с (x^2 + 8x + 16), мы видим, что (2a = 8), откуда (a = 4), и (a^2 = 16), что соответствует данному трёхчлену. Следовательно, знаменатель можно разложить как:
[ x^2 + 8x + 16 = (x + 4)(x + 4) = (x + 4)^2 ]
Сокращение дроби
Теперь мы можем записать исходную дробь, используя разложения:
[ \frac{16 - x^2}{x^2 + 8x + 16} = \frac{(4 - x)(4 + x)}{(x + 4)^2} ]
Обратите внимание, что (4 - x) можно переписать как (-(x - 4)), тогда:
[ \frac{(4 - x)(4 + x)}{(x + 4)^2} = \frac{-(x - 4)(x + 4)}{(x + 4)^2} ]
Мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель ((x + 4)). Сокращая его, получаем:
[ \frac{-(x - 4)}{x + 4} ]
Таким образом, сокращённая форма дроби будет:
[ \frac{-(x - 4)}{x + 4} = \frac{4 - x}{x + 4} ]
Обратите внимание, что сокращение возможно только в случае, если (x + 4 \neq 0), то есть (x \neq -4), чтобы не делить на ноль.
