Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 7 больше ее числителя. если числитель дроби увеличить...

Пусть числитель несократимой дроби равен (x), а знаменатель равен (x + 7). Тогда данная дробь будет равна (\frac{x}{x + 7}).

После увеличения числителя на 3 и уменьшения знаменателя на 3, новая дробь будет равна (\frac{x + 3}{x + 4}).

Согласно условию задачи, мы имеем уравнение:

[\frac{x + 3}{x + 4} = \frac{x}{x + 7} + \frac{11}{18}]

Решив данное уравнение, получим (x = 9), а значит исходная дробь равна (\frac{9}{16}).

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим переменные: Обозначим числитель дроби как ( x ). Тогда знаменатель, который на 7 больше, будет ( x + 7 ). Таким образом, наша дробь имеет вид:

   [ \frac{x}{x + 7} ]

2. Условие изменения дроби: Если числитель увеличить на 3, а знаменатель уменьшить на 3, получим новую дробь:

   [ \frac{x + 3}{x + 4} ]

3. Составим уравнение: По условию, новая дробь на (\frac{11}{18}) больше, чем исходная. Это можно записать как:

   [ \frac{x + 3}{x + 4} = \frac{x}{x + 7} + \frac{11}{18} ]

4. Приведение уравнения к общему знаменателю: Найдем общий знаменатель для правой части уравнения, который будет равен (18(x + 7)):

   [ \frac{18x}{18(x + 7)} + \frac{11(x + 7)}{18(x + 7)} ]

   Сложим дроби:

   [ \frac{18x + 11x + 77}{18(x + 7)} = \frac{29x + 77}{18(x + 7)} ]

   Таким образом, уравнение принимает вид:

   [ \frac{x + 3}{x + 4} = \frac{29x + 77}{18(x + 7)} ]

5. Решим уравнение: Умножим обе части на (18(x + 7)(x + 4)), чтобы избавиться от дробей:

   [ 18(x + 3)(x + 7) = (29x + 77)(x + 4) ]

   Раскроем скобки и упростим:

   Левая часть: [ 18(x^2 + 10x + 21) = 18x^2 + 180x + 378 ]

   Правая часть: [ 29x^2 + 116x + 77x + 308 = 29x^2 + 193x + 308 ]

   Получаем уравнение: [ 18x^2 + 180x + 378 = 29x^2 + 193x + 308 ]

   Переносим все в одну сторону: [ 0 = 29x^2 + 193x + 308 - 18x^2 - 180x - 378 ]

   [ 0 = 11x^2 + 13x - 70 ]

6. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант для решения:

   [ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-70) = 169 + 3080 = 3249 ]

   [ \sqrt{3249} = 57 ]

   Найдем корни: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm 57}{22} ]

   [ x_1 = \frac{44}{22} = 2 ]

   [ x_2 = \frac{-70}{22} = -\frac{35}{11} ]

   Поскольку числитель должен быть натуральным числом, выбираем (x = 2).

7. Ответ: Подставляем (x = 2) в нашу дробь:

   [ \frac{2}{2 + 7} = \frac{2}{9} ]

Таким образом, искомая дробь — (\frac{2}{9}).