Запишите в тригонометрической форме число z=3i

Для записи комплексного числа в тригонометрической форме, нужно сначала определить его модуль и аргумент.

Комплексное число ( z = 3i ) можно представить в алгебраической форме как ( z = 0 + 3i ), где действительная часть ( a = 0 ), а мнимая часть ( b = 3 ).

1. Нахождение модуля ( |z| ):

Модуль комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как:

[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]

Для нашего числа:

[ |z| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 ]

1. Нахождение аргумента ( \arg(z) ):

Аргумент комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как угол, который вектор, представляющий это число, образует с положительным направлением действительной оси. Он может быть найден с помощью функции арктангенса:

[ \theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) ]

Однако, поскольку ( a = 0 ) и ( b = 3 ), вектор лежит на положительной части мнимой оси. Таким образом, угол между этим вектором и положительной действительной осью составляет ( \frac{\pi}{2} ) (или 90 градусов), так как он направлен вверх.

1. Запись в тригонометрической форме:

Теперь, имея модуль и аргумент, можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

[ z = |z| \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) ]

Подставляя найденные значения:

[ z = 3 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) ]

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа ( z = 3i ) будет:

[ z = 3 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) ]

Эта форма полезна при умножении, делении комплексных чисел, а также при возведении их в степень и извлечении корня.

Чтобы записать число z=3i в тригонометрической форме, мы сначала представим его в алгебраической форме. Число 3i можно записать как 3(cos(π/2) + i*sin(π/2)), где cos(π/2) = 0 и sin(π/2) = 1.

Таким образом, число z=3i в тригонометрической форме будет равно 3(cos(π/2) + isin(π/2)) = 3(0 + i1) = 3i.