Замените корень √x2-6x+9 тождественно равным ему многочленом, если известно, что x>-3

Для замены корня √x^2 - 6x + 9 тождественно равным многочленом, используем алгебраическое исчисление.

Сначала найдем значение выражения под корнем: x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2. Таким образом, √x^2 - 6x + 9 = x - 3.

Учитывая условие x > -3, мы можем заменить корень √x^2 - 6x + 9 на (x - 3) при условии, что x > -3.

Давайте рассмотрим выражение (\sqrt{x^2 - 6x + 9}).

1. Упростим подкоренное выражение: [ x^2 - 6x + 9 ] Заметим, что это квадрат полного двучлена. Действительно, можно переписать его как: [ (x-3)^2 ] Это выражение является результатом возведения в квадрат разности (x-3).

2. Извлечение квадратного корня: Теперь нам нужно извлечь квадратный корень из ((x-3)^2): [ \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| ]

3. Учитывая условие: В условии задачи сказано, что (x > -3). Однако, чтобы более точно определить знак выражения (x-3), нам нужно понять, при каких значениях (x) выражение принимает положительное или отрицательное значение:

   • Если (x \geq 3), то (x-3 \geq 0), и (|x-3| = x-3).
   • Если (x < 3), но (x > -3), то выражение (x-3) будет меньше нуля, и (|x-3| = -(x-3) = 3-x).

   Но так как мы извлекаем корень из квадрата, который по определению положителен или равен нулю, то рассматривая область (x > -3), мы можем записать: [ \sqrt{(x-3)^2} = x-3 \quad \text{при } x \geq 3. ] [ \sqrt{(x-3)^2} = 3-x \quad \text{при } -3 < x < 3. ]

Таким образом, подводя итог, в зависимости от значения (x), корень (\sqrt{x^2 - 6x + 9}) можно заменить на многочлен: [ \begin{cases} x - 3, & \text{если } x \geq 3 \ 3 - x, & \text{если } -3 < x < 3 \end{cases} ]