Y=x^3-12x полное исследование функции) помогите плиз!

Для полного исследования функции ( y = x^3 - 12x ) рассмотрим следующие аспекты: область определения, четность/нечетность, пересечения с осями координат, экстремумы, интервалы монотонности, точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости, асимптоты.

1. Область определения функции Функция ( y = x^3 - 12x ) определена для всех ( x ) из множества действительных чисел, т.е. ( D(f) = (-\infty, +\infty) ).

2. Четность/нечетность функции Функция нечетная, так как ( f(-x) = (-x)^3 - 12(-x) = -x^3 + 12x = -(x^3 - 12x) = -f(x) ). Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.

3. Пересечения с осями координат

   • Ось X (найдем корни уравнения ( x^3 - 12x = 0 )): [ x(x^2 - 12) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \sqrt{12}, x = -\sqrt{12} \Rightarrow x = 0, x = 2\sqrt{3}, x = -2\sqrt{3} ]
   • Ось Y: при ( x = 0 ), ( y = 0 ). Точка (0, 0) — единственная точка пересечения с осью Y.

4. Экстремумы и интервалы монотонности

   • Найдем производную функции: [ y' = 3x^2 - 12 ]
   • Найдем критические точки, решив уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 ]
   • Используем вторую производную для определения типа экстремумов: [ y'' = 6x ] При ( x = 2 ), ( y''(2) = 12 > 0 ) — минимум, при ( x = -2 ), ( y''(-2) = -12 < 0 ) — максимум. Таким образом, ( y(-2) = -8 + 24 = 16 ) и ( y(2) = 8 - 24 = -16 ).
   • Интервалы монотонности: функция возрастает на ( (-\infty, -2] ) и на ( [2, \infty) ), убывает на ( [-2, 2] ).

5. Точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости

   • Исследуем знак второй производной: [ y'' = 6x ] ( y'' > 0 ) при ( x > 0 ) (выпуклость вверх), ( y'' < 0 ) при ( x < 0 ) (выпуклость вниз).
   • Точка перегиба: ( x = 0 ), так как здесь происходит изменение знака второй производной.

6. Асимптоты У функции нет вертикальных или горизонтальных асимптот, так как функция ведет себя как ( x^3 ) при ( x \to \pm\infty ).

График функции Из описания видно, что график проходит через точки (-2,16), (0,0), (2,-16), имеет три нуля, изменяет направление выпуклости в точке (0,0) и имеет симметрию относительно начала координат.

Для начала проведем исследование функции y=x^3-12x.

1. Найдем точки пересечения с осями координат: Для оси ординат: x=0, тогда y=0, следовательно точка пересечения (0,0). Для оси абсцисс: y=0, тогда x^3-12x=0, x(x^2-12)=0, x=0 или x=±√12, следовательно точки пересечения (0,0), (√12,0) и (-√12,0).

2. Найдем точки экстремума: Для этого найдем производную функции: y'=3x^2-12. Точки экстремума будут в точках, где y'=0, то есть 3x^2-12=0, x^2=4, x=±2. Проверим значения производной в окрестностях найденных точек: При x=-2, y'=-12, значит точка (-2, -16) - максимум. При x=2, y'=12, значит точка (2, -16) - минимум.

3. Найдем точки перегиба: Для этого найдем вторую производную функции: y''=6x. Точки перегиба будут в точках, где y''=0, то есть x=0. Проверим значение второй производной в окрестностях этой точки: При x0, значит функция выпукла вверх.

Итак, после проведения полного исследования функции y=x^3-12x, мы можем сделать выводы:

• Точки пересечения с осями координат: (0,0), (√12,0), (-√12,0).
• Точки экстремума: максимум в точке (-2, -16), минимум в точке (2, -16).
• Точка перегиба: x=0, функция выпукла вверх при x0.

Да, конечно! Для полного исследования функции y=x^3-12x необходимо:

1. Найти область определения функции.
2. Найти нули функции (решить уравнение x^3-12x=0).
3. Найти точки экстремума (найти производную функции, приравнять к нулю и решить уравнение).
4. Исследовать функцию на четность/нечетность.
5. Найти точки перегиба (найти вторую производную функции и найти ее нули).
6. Построить график функции.

Надеюсь, это поможет вам исследовать данную функцию! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.