Y=cos 5/x (дробь) Найти область определения и множество значений

Для функции ( y = \cos\left(\frac{5}{x}\right) ):

1. Область определения: ( x ) не может равняться нулю, так как это приведёт к делению на ноль. Таким образом, область определения: ( x \in \mathbb{R} \setminus {0} ) (все действительные числа, кроме нуля).

2. Множество значений: Значение функции ( \cos(t) ) для любого ( t ) находится в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, множество значений функции: ( y \in [-1, 1] ).

Для функции ( Y = \cos\left(\frac{5}{x}\right) ) нам нужно определить область определения и множество значений.

Область определения

Область определения функции — это множество всех значений переменной ( x ), при которых функция имеет смысл.

В данном случае функция ( Y ) включает дробь ( \frac{5}{x} ). Дробь определена, если знаменатель не равен нулю, то есть:

[ x \neq 0 ]

Таким образом, область определения функции ( Y ) будет:

[ D_Y = { x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 } ]

Множество значений

Теперь определим множество значений функции ( Y ).

Функция ( \cos(z) ) для любого действительного числа ( z ) принимает значения в диапазоне от (-1) до (1):

[ \text{Множество значений } \cos(z) = [-1, 1] ]

Поскольку ( \frac{5}{x} ) может принимать любые действительные значения (за исключением нуля), функция ( Y = \cos\left(\frac{5}{x}\right) ) также может принимать любые значения в интервале от (-1) до (1).

Таким образом, множество значений функции ( Y ) будет:

[ E_Y = [-1, 1] ]

Итог

• Область определения: ( D_Y = { x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 } )
• Множество значений: ( E_Y = [-1, 1] )

Эти результаты показывают, что функция ( Y = \cos\left(\frac{5}{x}\right) ) определена для всех действительных ( x ), кроме нуля, и принимает значения от (-1) до (1).

Рассмотрим функцию ( y = \cos\left(\frac{5}{x}\right) ). Требуется найти область определения функции и множество её значений.

1. Область определения функции

Область определения функции — это набор значений переменной ( x ), при которых выражение для ( y ) имеет смысл. Рассмотрим, что может ограничивать ( x ) в данной функции:

• Деление на ноль запрещено: выражение (\frac{5}{x}) становится неопределённым, если ( x = 0 ). Следовательно, ( x \neq 0 ).

Больше никаких ограничений на ( x ) нет, так как функцию косинуса ( \cos(z) ) можно вычислить для любого вещественного числа ( z ).

Итог для области определения:

[ x \in \mathbb{R} \setminus {0}, \quad \text{или } x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty). ]

2. Множество значений функции

Функция ( y = \cos\left(\frac{5}{x}\right) ) является композицией функции косинуса (( \cos(z) )) и функции дроби (( \frac{5}{x} )).

• Косинус ( \cos(z) ) принимает значения на отрезке ([-1, 1]) для любого вещественного аргумента ( z ). Это свойство косинуса не изменяется при замене аргумента ( z ) на ( \frac{5}{x} ).

Следовательно, вне зависимости от значения ( x ), значение ( y ) всегда лежит в интервале от (-1) до ( 1).

Итог для множества значений:

[ y \in [-1, 1]. ]

3. Итоговый ответ

• Область определения:

[ x \in \mathbb{R} \setminus {0}, \quad \text{или } x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty). ]

• Множество значений:

[ y \in [-1, 1]. ]