Y=6/x в точке x=3 составьте уравнение касательной к графику функций

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции ( y = \frac{6}{x} ) в точке ( x = 3 ), следуйте этим шагам:

1. Найдите значение функции в точке ( x = 3 ):

   Подставьте ( x = 3 ) в уравнение функции: [ y = \frac{6}{3} = 2 ] Таким образом, точка на графике функции — ( (3, 2) ).

2. Найдите производную функции:

   Функция ( y = \frac{6}{x} ) может быть переписана как ( y = 6x^{-1} ). Чтобы найти производную, используйте правило дифференцирования степенной функции: [ y' = \frac{d}{dx}(6x^{-1}) = -6x^{-2} = -\frac{6}{x^2} ]

3. Вычислите производную в точке ( x = 3 ):

   Подставьте ( x = 3 ) в производную: [ y' = -\frac{6}{3^2} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} ] Это значение является угловым коэффициентом касательной.

4. Составьте уравнение касательной:

   Уравнение прямой в точке ( (x_0, y_0) ) с угловым коэффициентом ( m ) задаётся формулой: [ y - y_0 = m(x - x_0) ] Подставьте ( (x_0, y_0) = (3, 2) ) и ( m = -\frac{2}{3} ): [ y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 3) ]

5. Упростите уравнение:

   Раскройте скобки: [ y - 2 = -\frac{2}{3}x + 2 ] Приведите подобные члены: [ y = -\frac{2}{3}x + 4 ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = \frac{6}{x} ) в точке ( x = 3 ) имеет вид: [ y = -\frac{2}{3}x + 4 ]

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции y=6/x в точке x=3, нам нужно найти производную этой функции и подставить значение x=3 в полученное выражение.

Сначала найдем производную функции y=6/x с помощью правила дифференцирования сложной функции:

y' = d(6/x)/dx = -6/x^2

Теперь подставим x=3 в полученное выражение:

y'(3) = -6/3^2 = -6/9 = -2/3

Таким образом, производная функции y=6/x в точке x=3 равна -2/3. Это значение является угловым коэффициентом касательной к графику функции в данной точке.

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке x=3, нам нужно знать координаты точки на графике функции, где x=3. Поскольку y=6/x, то при x=3, y=6/3=2.

Теперь используем формулу уравнения прямой в общем виде y=mx+b, где m - угловой коэффициент (в данном случае -2/3) и (3,2) - координаты точки на графике функции:

y = -2/3*x + b

Подставим координаты точки (3,2) в уравнение:

2 = -2/3*3 + b 2 = -2 + b b = 4

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=6/x в точке x=3 имеет вид:

y = -2/3*x + 4