Y=6x-2x^3 найти интервал возрастания и убывания функции

Для того чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции ( Y = 6x - 2x^3 ), необходимо найти первую производную этой функции и проанализировать её знаки.

1. Найдем первую производную функции ( Y ):

   [ Y' = \frac{d}{dx}(6x - 2x^3) = 6 - 6x^2 ]

2. Найдем критические точки:

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная существует для всех ( x ), поэтому решаем уравнение:

   [ 6 - 6x^2 = 0 ]

   Разделим обе стороны на 6:

   [ 1 - x^2 = 0 ]

   Отсюда:

   [ x^2 = 1 ]

   [ x = \pm 1 ]

   Таким образом, критические точки: ( x = -1 ) и ( x = 1 ).

3. Определим знаки производной на интервалах:

   Исследуем знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками:

   • Интервал ( (-\infty, -1) ): Выберем пробную точку, например, ( x = -2 ). [ Y'(-2) = 6 - 6(-2)^2 = 6 - 24 = -18 ] Производная отрицательна, функция убывает.

   • Интервал ( (-1, 1) ): Выберем пробную точку, например, ( x = 0 ). [ Y'(0) = 6 - 6(0)^2 = 6 ] Производная положительна, функция возрастает.

   • Интервал ( (1, \infty) ): Выберем пробную точку, например, ( x = 2 ). [ Y'(2) = 6 - 6(2)^2 = 6 - 24 = -18 ] Производная отрицательна, функция убывает.

4. Вывод:

   Функция ( Y = 6x - 2x^3 ) возрастает на интервале ( (-1, 1) ) и убывает на интервалах ( (-\infty, -1) ) и ( (1, \infty) ).

Интервал возрастания функции: (-бесконечность; -1) и (1; +бесконечность) Интервал убывания функции: (-1; 1)

Для определения интервалов возрастания и убывания функции Y=6x-2x^3 необходимо найти производную этой функции и найти ее корни.

Сначала найдем производную функции Y=6x-2x^3. Для этого продифференцируем каждый член по отдельности:

(dY/dx) = d(6x)/dx - d(2x^3)/dx = 6 - 6x^2

Теперь найдем корни этого уравнения:

6 - 6x^2 = 0 6x^2 = 6 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, у нас два корня - x = 1 и x = -1. Теперь мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции.

1. Интервал возрастания функции: -∞ < x < -1 1 < x < +∞

2. Интервал убывания функции: -1 < x < 1

Таким образом, функция Y=6x-2x^3 возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), а убывает на интервале (-1, 1).