Y=3sinx cosx+1 найти наибольшие и наименьшие значения функции

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( y = 3\sin x \cos x + 1 ), можно использовать тригонометрические тождества для упрощения выражения.

Известно тригонометрическое тождество: [ \sin 2x = 2 \sin x \cos x. ] Таким образом, функцию можно переписать следующим образом: [ y = 3\sin x \cos x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2x + 1. ]

Теперь рассмотрим функцию ( y = \frac{3}{2} \sin 2x + 1 ). Функция ( \sin 2x ) колеблется от -1 до 1. Таким образом, множитель ( \frac{3}{2} \sin 2x ) будет колебаться от ( -\frac{3}{2} ) до ( \frac{3}{2} ).

Так как к этому выражению добавляется 1, наибольшее и наименьшее значения функции можно найти следующим образом:

• Наибольшее значение ( \frac{3}{2} \sin 2x ) равно ( \frac{3}{2} ), поэтому наибольшее значение всей функции будет ( \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} ).
• Наименьшее значение ( \frac{3}{2} \sin 2x ) равно ( -\frac{3}{2} ), поэтому наименьшее значение всей функции будет ( -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2} ).

Итак, наибольшее значение функции ( y = 3\sin x \cos x + 1 ) равно ( \frac{5}{2} ), а наименьшее значение равно ( -\frac{1}{2} ).

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции Y=3sin(x)cos(x)+1 необходимо найти экстремумы функции.

1. Найдем производную функции Y по переменной x: Y' = d/dx (3sin(x)cos(x)+1) = 3(cos^2(x) - sin^2(x)) = 3cos(2x).

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 3cos(2x) = 0. cos(2x) = 0. 2x = π/2 + πn, где n - целое число. x = (π/4) + (π/2)n.

3. Теперь найдем значения функции в найденных точках экстремума: Y(π/4) = 3sin(π/4)cos(π/4) + 1 = 3(1/√2)(1/√2) + 1 = 3/2 + 1 = 5/2. Y(5π/4) = 3sin(5π/4)cos(5π/4) + 1 = 3(-1/√2)(-1/√2) + 1 = 3/2 + 1 = 5/2.

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции Y=3sin(x)cos(x)+1 равны 5/2.

Наибольшее значение функции равно 4, наименьшее значение функции равно 1.