X^2-225>0 решите неравенство
X^2-225>0 решите неравенство
Для решения неравенства X^2 - 225 > 0, сначала найдем корни уравнения X^2 - 225 = 0:
X^2 - 225 = 0 (X - 15)(X + 15) = 0 X = 15 или X = -15
Далее, построим знаки функции f(X) = X^2 - 225 на числовой оси, используя найденные корни:
---|-----(-15)-----|----(15)----|---
Теперь выясним, при каких значениях X неравенство X^2 - 225 > 0 выполняется. Из построенной таблицы знаков получаем, что неравенство выполняется при X < -15 и X > 15. Таким образом, решением неравенства является множество всех X, удовлетворяющих условию X < -15 или X > 15.
Чтобы решить неравенство ( x^2 - 225 > 0 ), начнем с преобразования исходного выражения. Заметим, что ( 225 ) можно представить как ( 15^2 ). Тогда неравенство примет вид:
[ x^2 - 15^2 > 0 ]
Это выражение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители:
[ (x - 15)(x + 15) > 0 ]
Теперь нам нужно найти значения ( x ), при которых произведение двух множителей положительно. Для этого найдем нули каждого множителя:
[ x - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 15 ] [ x + 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -15 ]
Эти точки разделяют числовую ось на три интервала:
Теперь проверим знак выражения ( (x - 15)(x + 15) ) на каждом из этих интервалов.
На интервале ( x < -15 ): Выберем ( x = -16 ): [ (x - 15)(x + 15) = (-16 - 15)(-16 + 15) = (-31)(-1) = 31 ] Значение положительно.
На интервале ( -15 < x < 15 ): Выберем ( x = 0 ): [ (x - 15)(x + 15) = (0 - 15)(0 + 15) = (-15)(15) = -225 ] Значение отрицательно.
На интервале ( x > 15 ): Выберем ( x = 16 ): [ (x - 15)(x + 15) = (16 - 15)(16 + 15) = (1)(31) = 31 ] Значение положительно.
Итак, произведение положительно на интервалах ( x < -15 ) и ( x > 15 ). На концах интервалов (в точках ( x = -15 ) и ( x = 15 )) произведение равно нулю, что не удовлетворяет неравенству ( > 0 ).
Таким образом, решением данного неравенства является объединение интервалов:
[ x \in (-\infty, -15) \cup (15, \infty) ]
Ответ: ( x \in (-\infty, -15) \cup (15, \infty) ).
