(x+ 2)в 4 степени + (x + 2) в 2 степени - 12= 0
(x+ 2)в 4 степени + (x + 2) в 2 степени - 12= 0
Для решения данного уравнения нужно ввести новую переменную, скажем y = (x + 2) во второй степени. Тогда уравнение примет вид y^2 + y - 12 = 0. Далее решаем это уравнение как квадратное относительно y, находим его корни y1 = 3, y2 = -4.
После этого подставляем обратно y = (x + 2) во второй степени и решаем уравнения x + 2 = √3 или x + 2 = -√4. Отсюда получаем два решения: x1 = √3 - 2 и x2 = -√4 - 2, что дает окончательные ответы x1 = √3 - 2 и x2 = -2 - 2 = -4.
Рассмотрим уравнение:
[(x + 2)^4 + (x + 2)^2 - 12 = 0]
Для упрощения введём замену переменной. Обозначим ( y = (x + 2)^2 ). Тогда уравнение приобретает следующий вид:
[ y^2 + y - 12 = 0 ]
Теперь решим это квадратное уравнение стандартными методами. Сначала найдем корни, используя дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac ]
Для нашего уравнения ( y^2 + y - 12 = 0 ) коэффициенты равны: ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -12 ).
Подставим их в формулу для дискриминанта:
[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 ]
Дискриминант равен 49. Теперь найдем корни квадратного уравнения:
[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставим значения ( a ), ( b ) и дискриминанта:
[ y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} ]
Таким образом, получаем два корня:
[ y_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]
[ y_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 ]
Теперь вернемся к исходной переменной ( x ). Напомним, что мы ввели замену ( y = (x + 2)^2 ). Соответственно, рассмотрим два случая:
[ x + 2 = \pm \sqrt{3} ]
[ x = -2 \pm \sqrt{3} ]
Получаем два корня:
[ x_1 = -2 + \sqrt{3} ]
[ x_2 = -2 - \sqrt{3} ]
Уравнение ( (x + 2)^2 = -4 ) не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, действительные корни уравнения:
[ x = -2 + \sqrt{3} ] [ x = -2 - \sqrt{3} ]
Эти два значения и являются решением исходного уравнения.
