(X+ 2)в 4 степени + (x + 2) в 2 степени - 12= 0

Для решения данного уравнения нужно ввести новую переменную, скажем y = (x + 2) во второй степени. Тогда уравнение примет вид y^2 + y - 12 = 0. Далее решаем это уравнение как квадратное относительно y, находим его корни y1 = 3, y2 = -4.

После этого подставляем обратно y = (x + 2) во второй степени и решаем уравнения x + 2 = √3 или x + 2 = -√4. Отсюда получаем два решения: x1 = √3 - 2 и x2 = -√4 - 2, что дает окончательные ответы x1 = √3 - 2 и x2 = -2 - 2 = -4.

Рассмотрим уравнение:

[(x + 2)^4 + (x + 2)^2 - 12 = 0]

Для упрощения введём замену переменной. Обозначим ( y = (x + 2)^2 ). Тогда уравнение приобретает следующий вид:

[ y^2 + y - 12 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение стандартными методами. Сначала найдем корни, используя дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac ]

Для нашего уравнения ( y^2 + y - 12 = 0 ) коэффициенты равны: ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -12 ).

Подставим их в формулу для дискриминанта:

[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 ]

Дискриминант равен 49. Теперь найдем корни квадратного уравнения:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения ( a ), ( b ) и дискриминанта:

[ y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} ]

Таким образом, получаем два корня:

[ y_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]

[ y_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 ]

Теперь вернемся к исходной переменной ( x ). Напомним, что мы ввели замену ( y = (x + 2)^2 ). Соответственно, рассмотрим два случая:

1. ( (x + 2)^2 = 3 )

[ x + 2 = \pm \sqrt{3} ]

[ x = -2 \pm \sqrt{3} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = -2 + \sqrt{3} ]

[ x_2 = -2 - \sqrt{3} ]

1. ( (x + 2)^2 = -4 )

Уравнение ( (x + 2)^2 = -4 ) не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные корни уравнения:

[ x = -2 + \sqrt{3} ] [ x = -2 - \sqrt{3} ]

Эти два значения и являются решением исходного уравнения.