Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем. Решите пожалуйста!

Для нахождения объема конуса используется формула V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

В данном случае нам дано, что высота конуса равна 12 и образующая (в данном случае это длина от вершины конуса до точки на окружности) равна 14. Так как образующая конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника, а радиус основания конуса - это одна из катетов этого треугольника, то можем воспользоваться теоремой Пифагора: r^2 + h^2 = l^2, где l - образующая.

Подставим известные значения: r^2 + 12^2 = 14^2 r^2 + 144 = 196 r^2 = 52 r = √52 = 2√13

Теперь, используя найденное значение радиуса, можем найти объем конуса: V = (1/3) π (2√13)^2 12 V = (1/3) π 52 12 V = (1/3) π 624 V = 208π

Ответ: объем конуса равен 208π.

Для того чтобы найти объем конуса, мы воспользуемся формулой:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

где ( V ) — объем конуса, ( r ) — радиус основания конуса, ( h ) — высота конуса, и ( \pi ) — математическая константа (приблизительно равна 3.14159).

Нам даны высота конуса ( h = 12 ) и образующая ( l = 14 ). Сначала нужно найти радиус основания ( r ). Образующая ( l ) конуса, высота ( h ) и радиус основания ( r ) образуют прямоугольный треугольник, где ( l ) — это гипотенуза, ( h ) — один из катетов, и ( r ) — другой катет.

Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения ( r ):

[ l^2 = h^2 + r^2 ]

Подставим известные значения:

[ 14^2 = 12^2 + r^2 ]

Решим это уравнение:

[ 196 = 144 + r^2 ]

[ r^2 = 196 - 144 ]

[ r^2 = 52 ]

[ r = \sqrt{52} ]

Спростим (\sqrt{52}):

[ r = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2 \sqrt{13} ]

Теперь подставим найденный радиус ( r = 2 \sqrt{13} ) и высоту ( h = 12 ) в формулу объема конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi (2 \sqrt{13})^2 \cdot 12 ]

Выполним возведение в квадрат:

[ (2 \sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 = 52 ]

Теперь подставим это значение в формулу объема:

[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 52 \cdot 12 ]

[ V = \frac{1}{3} \cdot 52 \cdot 12 \cdot \pi ]

Сократим 12 и 3:

[ V = 4 \cdot 52 \cdot \pi ]

Выполним умножение:

[ V = 208 \pi ]

Таким образом, объем конуса равен:

[ V = 208 \pi ] кубических единиц.