Выполните сложение и вычитание дробей : (х+у)^2/6у+(х-у)^2/12у-x^2-y^2/4y

Для выполнения сложения и вычитания дробей (\frac{(x+y)^2}{6y} + \frac{(x-y)^2}{12y} - \frac{x^2 - y^2}{4y}), сначала приведем их к общему знаменателю.

1. Рассмотрим каждую дробь отдельно:

   • (\frac{(x+y)^2}{6y})
   • (\frac{(x-y)^2}{12y})
   • (\frac{x^2 - y^2}{4y})

2. Найдем общий знаменатель для этих дробей. Общий знаменатель будет наименьшим общим кратным знаменателей (6y), (12y) и (4y).

   • (6y = 2 \cdot 3 \cdot y)
   • (12y = 2^2 \cdot 3 \cdot y)
   • (4y = 2^2 \cdot y)

   Общий знаменатель = (12y).

3. Приведем каждую дробь к общему знаменателю (12y):

   • (\frac{(x+y)^2}{6y} = \frac{(x+y)^2 \cdot 2}{6y \cdot 2} = \frac{2(x+y)^2}{12y})
   • (\frac{(x-y)^2}{12y}) уже приведена к общему знаменателю.
   • (\frac{x^2 - y^2}{4y} = \frac{(x^2 - y^2) \cdot 3}{4y \cdot 3} = \frac{3(x^2 - y^2)}{12y})

4. Теперь, когда все дроби приведены к общему знаменателю, можно их сложить и вычесть:

   [\frac{2(x+y)^2}{12y} + \frac{(x-y)^2}{12y} - \frac{3(x^2 - y^2)}{12y}]

   Запишем это как одну дробь:

   [\frac{2(x+y)^2 + (x-y)^2 - 3(x^2 - y^2)}{12y}]

5. Раскроем скобки в числителе:

   • ((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2)
   • ((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2)
   • (x^2 - y^2) остается без изменений.

   Подставим эти выражения в числитель:

   [2(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) - 3(x^2 - y^2)]

   Раскроем скобки и упростим выражение:

   [= 2x^2 + 4xy + 2y^2 + x^2 - 2xy + y^2 - 3x^2 + 3y^2]

   Сгруппируем и объединим подобные члены:

   [= (2x^2 + x^2 - 3x^2) + (4xy - 2xy) + (2y^2 + y^2 + 3y^2)] [= 0 + 2xy + 6y^2] [= 2xy + 6y^2]

6. Таким образом, числитель упрощается до (2xy + 6y^2):

   [\frac{2xy + 6y^2}{12y}]

7. Теперь можем упростить дробь, разделив каждый член числителя на знаменатель:

   [\frac{2xy}{12y} + \frac{6y^2}{12y}]

   Упростим каждый член по отдельности:

   [\frac{2xy}{12y} = \frac{2x}{12} = \frac{x}{6}] [\frac{6y^2}{12y} = \frac{6y}{12} = \frac{y}{2}]

8. Итак, итоговое выражение:

   [\frac{x}{6} + \frac{y}{2}]

   Приведем к общему знаменателю (6):

   [\frac{x}{6} + \frac{3y}{6} = \frac{x + 3y}{6}]

Таким образом, результат выполнения сложения и вычитания дробей (\frac{(x+y)^2}{6y} + \frac{(x-y)^2}{12y} - \frac{x^2 - y^2}{4y}) равен (\frac{x + 3y}{6}).

Для выполнения сложения и вычитания дробей, нужно привести все дроби к общему знаменателю. Для данного выражения общим знаменателем будет 12у.

Разложим каждое слагаемое на части: (х+у)^2 = x^2 + 2xy + y^2 (х-у)^2 = x^2 - 2xy + y^2

Теперь подставим все в исходное выражение: (x^2 + 2xy + y^2)/6у + (x^2 - 2xy + y^2)/12у - x^2 - y^2/4y

Умножаем числители, чтобы привести к общему знаменателю: (2x^2 + 4xy + 2y^2 + x^2 - 2xy + y^2 - 3x^2y^2)/(12у)

Сокращаем подобные слагаемые: (3x^2 + 2y^2)/(12у)

Таким образом, результат сложения и вычитания данных дробей равен (3x^2 + 2y^2)/(12у).

(х^2 + 2xy + y^2)/6y + (х^2 - 2xy + y^2)/12y - x^2 - y^2/4y = (2x^2 + 2y^2)/6y + (2x^2 + 2y^2)/12y - x^2 - y^2/4y = (4x^2 + 4y^2)/12y + (2x^2 + 2y^2)/12y - 3x^2 - 3y^2/12y = (6x^2 + 6y^2)/12y - 3x^2 - 3y^2/12y = (6x^2 + 6y^2 - 3x^2 - 3y^2)/12y = (3x^2 + 3y^2)/12y = (3(x^2 + y^2))/12y = (3(x^2 + y^2))/12y = (x^2 + y^2)/4y