Выписали все натуральные числа от 1 до 99 без промежутков, получилось огромное число. а) сколько раз...

а) Для определения количества раз, которые цифры 1 и 2 встречаются в записи числа от 1 до 99, можно разбить числа на диапазоны:

• Диапазон от 1 до 9: цифра 1 встречается 1 раз, цифра 2 не встречается.
• Диапазон от 10 до 19: цифра 1 встречается 11 раз, цифра 2 встречается 1 раз.
• Диапазон от 20 до 29: цифра 1 не встречается, цифра 2 встречается 10 раз.
• Диапазон от 30 до 39: цифра 1 не встречается, цифра 2 встречается 10 раз.
• Диапазон от 40 до 49: цифра 1 не встречается, цифра 2 встречается 10 раз.
• Диапазон от 50 до 59: цифра 1 не встречается, цифра 2 встречается 10 раз.
• Диапазон от 60 до 69: цифра 1 не встречается, цифра 2 встречается 10 раз.
• Диапазон от 70 до 79: цифра 1 не встречается, цифра 2 встречается 10 раз.
• Диапазон от 80 до 89: цифра 1 не встречается, цифра 2 встречается 10 раз.
• Диапазон от 90 до 99: цифра 1 встречается 10 раз, цифра 2 встречается 10 раз.

Таким образом, цифра 1 встречается в записи числа от 1 до 99 22 раза, а цифра 2 встречается 52 раза.

б) Чтобы определить, делится ли число, составленное из записи чисел от 1 до 99, на 9, нужно посчитать сумму цифр этого числа. Сумма всех цифр от 1 до 9 равна 45, а сумма всех цифр от 1 до 99 равна 45 + 1 + 1 + . + 9 + 1 + . + 9 = 45 2 + 10 (1 + 2 + . + 9) = 90 + 45 * 10 = 540.

Так как сумма цифр числа равна 540, и 540 делится на 9 без остатка, то число, составленное из записи чисел от 1 до 99, также делится на 9 без остатка.

Для решения задачи необходимо внимательно рассмотреть все натуральные числа от 1 до 99 и их запись без промежутков, а также применить свойства чисел.

Часть а: Подсчет повторений цифр

Подсчет повторений цифры 1

Запишем все числа от 1 до 99 и подсчитаем, сколько раз встречается цифра 1:

1. Единицы: Цифра 1 находится в единицах у чисел 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, и 91. Это 10 чисел.
2. Десятки: Цифра 1 находится в десятках у чисел от 10 до 19. Это 10 чисел.

Таким образом, цифра 1 встречается (10 + 10 = 20) раз.

Подсчет повторений цифры 2

Теперь подсчитаем, сколько раз встречается цифра 2:

1. Единицы: Цифра 2 находится в единицах у чисел 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, и 92. Это 10 чисел.
2. Десятки: Цифра 2 находится в десятках у чисел от 20 до 29. Это 10 чисел.

Таким образом, цифра 2 встречается (10 + 10 = 20) раз.

Часть б: Делимость на 9

Для проверки делимости числа на 9, воспользуемся признаком делимости: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

1. Запись числа: Соединяем числа от 1 до 99: (123456789101112 \ldots 9899).

2. Сумма цифр: Разделим задача на части:

   • Числа от 1 до 9: сумма цифр (1 + 2 + \ldots + 9 = \frac{9 \times 10}{2} = 45).
   • Десятки от 10 до 99: Каждое десятилетие вносит свою сумму.
     • Для чисел от 10 до 19: сумма цифр десятых равна (10), а сумма единиц равна (45).
     • Для других десятилетий (20-29, 30-39 и так далее до 90-99), сумма десятков: (20, 30, \ldots, 90) и сумма единиц в каждом: (45).
   • Сумма цифр десятилетий: [ (10 + 45) + (20 + 45) + \ldots + (90 + 45) = 10 \times 45 + (10 + 20 + \ldots + 90) ]
   • Сумма (10 + 20 + \ldots + 90) равна (10 \times (1 + 2 + \ldots + 9) = 10 \times 45 = 450).

3. Общая сумма цифр:

   • Сумма цифр всех чисел от 1 до 99: [ 45 + 450 + 450 = 945 ]

4. Проверка делимости: (945 \div 9 = 105), следовательно, число делится на 9.

Ответ:

а) Цифра 1 повторяется 20 раз, цифра 2 повторяется 20 раз.
б) Число делится на 9.

а) Цифра 1 повторяется в числе от 1 до 99:

• 1 раз в числах от 1 до 9,
• 10 раз в числах от 10 до 19 (в каждом числе по одной единице),
• 10 раз в числах от 21 до 29,
• 10 раз в числах от 31 до 39,
• 10 раз в числах от 41 до 49,
• 10 раз в числах от 51 до 59,
• 10 раз в числах от 61 до 69,
• 10 раз в числах от 71 до 79,
• 10 раз в числах от 81 до 89,
• 10 раз в числах от 91 до 99.

Итого, цифра 1 повторяется 46 раз.

Цифра 2 повторяется в числах от 2 до 9:

• 1 раз в числах от 20 до 29,
• 1 раз в числах от 12 до 19.

Итого, цифра 2 повторяется 10 раз.

б) Чтобы проверить, делится ли данное огромное число на 9, нужно сложить все его цифры. Сумма чисел от 1 до 99 равна 4950. Это число делится на 9 без остатка (4950 / 9 = 550), следовательно, данное огромное число также делится на 9 без остатка.