Вычислите угол между векторами a {-2,5; 2,5; 0} и b {-5; 5; 5 √2}

Чтобы вычислить угол между двумя векторами, мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами. Для векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), эта формула записывается следующим образом:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

Где:

• ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ),
• ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины (нормы) векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ),
• ( \theta ) — угол между векторами.

Шаг 1: Найдём скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ).

Векторы ( \mathbf{a} = {-2.5, 2.5, 0} ) и ( \mathbf{b} = {-5, 5, 5\sqrt{2}} ).

Скалярное произведение определяется как:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z ]

Подставим значения координат:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2.5) \cdot (-5) + 2.5 \cdot 5 + 0 \cdot 5\sqrt{2} ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12.5 + 12.5 + 0 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 25 ]

Шаг 2: Найдём длины (нормы) векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Длина вектора ( \mathbf{a} ) определяется как:

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} ]

Подставим значения координат:

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-2.5)^2 + (2.5)^2 + 0^2} ] [ |\mathbf{a}| = \sqrt{6.25 + 6.25 + 0} ] [ |\mathbf{a}| = \sqrt{12.5} ] [ |\mathbf{a}| = \sqrt{12.5} = \sqrt{25/2} = 5/\sqrt{2} ]

Теперь найдём длину вектора ( \mathbf{b} ):

[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} ]

Подставим значения координат:

[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (5\sqrt{2})^2} ] [ |\mathbf{b}| = \sqrt{25 + 25 + 50} ] [ |\mathbf{b}| = \sqrt{100} ] [ |\mathbf{b}| = 10 ]

Шаг 3: Подставим значения скалярного произведения и длин векторов в формулу для косинуса угла.

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ] [ \cos \theta = \frac{25}{(5/\sqrt{2}) \cdot 10} ] [ \cos \theta = \frac{25}{50/\sqrt{2}} ] [ \cos \theta = \frac{25 \sqrt{2}}{50} ] [ \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Шаг 4: Найдём угол ( \theta ).

[ \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Этот результат соответствует косинусу угла ( 45^\circ ) или ( \pi/4 ) радиан.

Таким образом, угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен ( 45^\circ ) или ( \pi/4 ) радиан.

Для вычисления угла между двумя векторами необходимо воспользоваться формулой скалярного произведения векторов. Угол между векторами a и b можно найти по формуле:

cos(θ) = (a b) / (||a|| ||b||),

где a и b - векторы, * - скалярное произведение, ||a|| и ||b|| - длины векторов a и b соответственно.

Длина вектора a: ||a|| = √((-2)^2 + 5^2 + 2.5^2) = √(4 + 25 + 6.25) = √35.25 = 5.94. Длина вектора b: ||b|| = √((-5)^2 + 5^2 + (5√2)^2) = √(25 + 25 + 50) = √100 = 10.

Скалярное произведение векторов a и b: a b = (-2 -5) + (5 5) + (2.5 5√2) = 10 + 25 + 12.5√2 = 35 + 12.5√2.

Теперь подставим все значения в формулу cos(θ) = (a b) / (||a|| ||b||):

cos(θ) = (35 + 12.5√2) / (5.94 * 10) ≈ 0.982.

Угол между векторами a и b равен θ ≈ arccos(0.982) ≈ 10.4°.

Угол между векторами a и b равен 45 градусам.