Вычислите sin(-1560°) Дайте пожалуйста развернутый ответ!

Чтобы вычислить (\sin(-1560^\circ)), нужно упростить угол, используя периодичность функции синуса. Синус — это периодическая функция с периодом (360^\circ). Это значит, что (\sin(\theta) = \sin(\theta + 360^\circ \cdot k)), где (k) — целое число.

1. Найдем эквивалентный угол в пределах от (0^\circ) до (360^\circ):

   Для этого необходимо добавить или вычесть из угла (360^\circ) столько раз, сколько нужно, чтобы он попал в заданный диапазон: [ -1560^\circ \div 360^\circ = -4.3333 ]

   Здесь частное (-4.3333) указывает на то, что (360^\circ) укладывается в (-1560^\circ) четырежды (и немного остается). Для нахождения эквивалентного положительного угла, округлим (-4.3333) до ближайшего большего целого числа (-5) и умножим его на (360^\circ): [ -1560^\circ + 360^\circ \times 5 = -1560^\circ + 1800^\circ = 240^\circ ]

   Теперь у нас есть угол (240^\circ), который находится в нужном диапазоне.

2. Вычислим (\sin(240^\circ)):

   Угол (240^\circ) находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен. Угол референции в третьей четверти для (240^\circ) равен: [ 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ ]

   Известно, что (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}).

   Таким образом, с учётом знака в третьей четверти: [ \sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

3. Ответ:

   Таким образом, (\sin(-1560^\circ) = \sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}).

Для того чтобы вычислить значение синуса угла -1560°, мы можем воспользоваться тем фактом, что синус является периодической функцией с периодом 360°. Это означает, что sin(-1560°) = sin(-1560° + 360°) = sin(-1200°).

Теперь нам нужно найти угол в стандартном интервале от 0° до 360°, который равен -1200°. Для этого мы можем просто прибавить или вычесть к углу 1200° кратное значение периода 360°, чтобы получить угол в интервале от 0° до 360°. Таким образом, -1200° + 360° = -840°.

Итак, sin(-1560°) = sin(-1200°) = sin(-840°). Теперь мы можем воспользоваться тем фактом, что синус является нечетной функцией, что означает sin(-x) = -sin(x), чтобы найти значение синуса угла -840°:

sin(-840°) = -sin(840°) = -sin(840° - 360°) = -sin(480°).

Теперь мы можем продолжить этот процесс, пока не найдем угол в стандартном интервале от 0° до 360°:

• sin(480°) = -sin(480° - 360°) = -sin(120°).

Таким образом, sin(-1560°) = sin(-1200°) = sin(-840°) = -sin(480°) = -sin(120°).

Теперь осталось найти значение синуса угла 120°, которое равно √3/2.

Итак, sin(-1560°) = -√3/2.