Вычислите площадь фигуры,ограниченно линиями y=x^2+1;y=3-x

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 1 и y = 3 - x, необходимо найти точки их пересечения. Подставив одно уравнение в другое, получаем уравнение x^2 + 1 = 3 - x. Решив его, получаем два корня: x = -1 и x = 2.

Затем находим соответствующие значения y для каждого x. Подставляя x = -1 в y = x^2 + 1, получаем y = (-1)^2 + 1 = 2. Подставляя x = 2, получаем y = 2^2 + 1 = 5.

Таким образом, точки пересечения графиков функций y = x^2 + 1 и y = 3 - x равны (-1, 2) и (2, 5). Далее необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми и осями координат.

Площадь фигуры можно найти путем вычисления определенного интеграла от разности функций по оси x в пределах от x = -1 до x = 2. Итак, S = ∫[a, b] [f(x) - g(x)] dx, где a = -1, b = 2, f(x) = 3 - x и g(x) = x^2 + 1.

Вычислим данный интеграл: S = ∫[-1, 2] [(3 - x) - (x^2 + 1)] dx = ∫[-1, 2] (2 - x - x^2) dx. Интегрируя, получаем S = [2x - (x^2)/2 - (x^3)/3] от -1 до 2. Подставив верхний и нижний пределы интегрирования, окончательно получаем S = 12/3 = 4.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 1 и y = 3 - x, равна 4 квадратным единицам.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения, что равно x=1 и x=2. Затем нужно найти площадь между этими двумя кривыми, что равно интегралу от (3-x) - (x^2+1) dx в пределах от 1 до 2. Интегрируя это выражение, мы найдем площадь фигуры.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 + 1 ) и ( y = 3 - x ), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривых: Для этого приравняем уравнения: [ x^2 + 1 = 3 - x ] Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ x^2 + x + 1 - 3 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 ] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} ] Получаем два корня: [ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -2 ]

2. Определить пределы интегрирования: Точки пересечения ( x = -2 ) и ( x = 1 ) будут пределами интегрирования.

3. Найти разность функций: Для нахождения площади используем разность функций ( y = 3 - x ) и ( y = x^2 + 1 ): [ A(x) = (3 - x) - (x^2 + 1) = 3 - x - x^2 - 1 = -x^2 - x + 2 ]

4. Вычислить интеграл разности функций: Интеграл от разности функций от ( x = -2 ) до ( x = 1 ) даст нам площадь фигуры: [ \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \, dx ]

5. Выполнить интегрирование: Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: [ \int (-x^2 - x + 2) \, dx = \int -x^2 \, dx + \int -x \, dx + \int 2 \, dx ] [ = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x + C ] Подставляем пределы интегрирования ( x = -2 ) и ( x = 1 ): [ \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} ]

6. Подставить пределы и вычислить разность: Подставим верхний предел ( x = 1 ): [ -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{7}{6} ] Подставим нижний предел ( x = -2 ): [ -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{10}{3} ]

   Теперь найдем разность верхнего и нижнего пределов: [ \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 + 1 ) и ( y = 3 - x ), равна ( \frac{9}{2} ) квадратных единиц.