Вычислите площадь фигуры Y=-x^2+2x+3 y=3-x

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = -x^2 + 2x + 3 ) и ( y = 3 - x ), нужно определить точки их пересечения и затем вычислить определённый интеграл разности этих функций на соответствующем отрезке.

Шаг 1: Найдите точки пересечения

Для этого приравняем уравнения функций:

[ -x^2 + 2x + 3 = 3 - x ]

Переносим все члены в одну сторону:

[ -x^2 + 2x + 3 - 3 + x = 0 ]

Объединим подобные члены:

[ -x^2 + 3x = 0 ]

Вынесем x за скобки:

[ x(-x + 3) = 0 ]

Таким образом, ( x = 0 ) или ( x = 3 ).

Шаг 2: Вычислите значения y в точках пересечения

Подставим найденные значения ( x ) в одно из исходных уравнений, например, ( y = 3 - x ):

1. При ( x = 0 ): ( y = 3 - 0 = 3 ).
2. При ( x = 3 ): ( y = 3 - 3 = 0 ).

Таким образом, точки пересечения: ( (0, 3) ) и ( (3, 0) ).

Шаг 3: Вычислите площадь между кривыми

Площадь между двумя кривыми от ( x = 0 ) до ( x = 3 ) определяется как интеграл разности этих функций:

[ \int_{0}^{3} ((3 - x) - (-x^2 + 2x + 3)) \, dx ]

Упростим подынтегральное выражение:

[ = \int{0}^{3} (3 - x + x^2 - 2x - 3) \, dx ] [ = \int{0}^{3} (x^2 - 3x) \, dx ]

Теперь вычислим определённый интеграл:

[ \int (x^2 - 3x) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{3} ]

Подставим пределы интегрирования:

[ = \left(\frac{3^3}{3} - \frac{3 \cdot 3^2}{2}\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{3 \cdot 0^2}{2}\right) ] [ = \left(\frac{27}{3} - \frac{27}{2}\right) - 0 ] [ = 9 - 13.5 ] [ = -4.5 ]

Так как площадь не может быть отрицательной, возьмем модуль:

[ = 4.5 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна 4.5 квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками уравнения y = -x^2 + 2x + 3 и y = 3 - x, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл площади между этими двумя кривыми.

Сначала найдем точки пересечения двух функций:

• x^2 + x = 0
• x(x + 1) = 0
• x = 0 и x = -1

Таким образом, точки пересечения находятся при x = 0 и x = -1.

Теперь вычислим определенный интеграл для нахождения площади:

∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, где a = -1, b = 0, f(x) = -x^2 + 2x + 3, g(x) = 3 - x

Подставим значения функций в интеграл:

∫[-1, 0] ((-x^2 + 2x + 3) - (3 - x)) dx ∫[-1, 0] (-x^2 + 2x + 3 - 3 + x) dx ∫[-1, 0] (-x^2 + 3x) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

-1/3 x^3 + 3/2 x^2 |[-1, 0] (-1/3 0^3 + 3/2 0^2) - (-1/3 (-1)^3 + 3/2 (-1)^2) 0 - (1/3 - 3/2) 0 - (-5/6) 5/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками уравнения y = -x^2 + 2x + 3 и y = 3 - x, равна 5/6.

Для вычисления площади фигуры необходимо найти точки пересечения двух графиков и провести между ними вертикальные линии. Таким образом, площадь фигуры будет равна интегралу от разности двух функций.