Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-4x+5 y=x+1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y=x^2-4x+5$ и $y=x+1$, сначала нужно определить точки пересечения этих кривых. Это даст нам границы интегрирования.

1. Найдем точки пересечения: $x^2-4x+5=x+1$ $x^2-4x+5-x-1=0$ $x^2-5x+4=0$

   Решим это квадратное уравнение: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ где $a=1$, $b=-5$, $c=4$. $x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}$ $x=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2}$ $x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}$ $x=\frac{5\pm 3}{2}$ $x=4\text{или}x=1$

   Таким образом, точки пересечения это $x=1$ и $x=4$.

2. Вычислим площадь между кривыми на интервале от $x=1$ до $x=4$. Площадь между двумя кривыми вычисляется по формуле: $\text{Площадь}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$ где $f(x$ = x + 1 ) и $g(x$ = x^2 - 4x + 5 ).

   Так как $x+1$ линейно и всегда выше $x^2-4x+5$ на интервале от 1 до 4, то площадь будет: [ \text{Площадь} = \int{1}^{4} $(x+1$ - $x^2-4x+5$) \, dx ] [ = \int{1}^{4} $-x^2+5x-4$ \, dx ]

   Теперь интегрируем: $\int (-x^2+5x-4)dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x+C$ Подставляем пределы: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_1^4 ] $=(-\frac{4^3}{3}+\frac{5\cdot 4^2}{2}-4\cdot 4)-(-\frac{1^3}{3}+\frac{5\cdot 1^2}{2}-4\cdot 1)$ $=(-\frac{64}{3}+40-16)-(-\frac{1}{3}+2.5-4)$ $=(-\frac{64}{3}+24)-(-\frac{1}{3}-1.5)$ $=-\frac{64}{3}+24+\frac{1}{3}+1.5$ $=-\frac{63}{3}+25.5$ $=-21+25.5$ $=4.5$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми $y=x^2-4x+5$ и $y=x+1$, равна 4.5 квадратных единиц.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2-4x+5 и y=x+1, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравниваем уравнения:

x^2-4x+5 = x+1 x^2-5x+4 = 0 $x-4$$x-1$ = 0

x1 = 4 x2 = 1

Точки пересечения графиков находятся при x=1 и x=4. Теперь находим значения y в этих точках:

y$1$ = 1 + 1 = 2 y$4$ = 4 + 1 = 5

Таким образом, точки пересечения графиков A$1,2$ и B$4,5$ образуют прямоугольный треугольник с основанием 3 и высотой 3 $разницаy-координат$, поэтому площадь треугольника равна:

S = $1/2$ 3 3 = 4.5

Ответ: площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2-4x+5 и y=x+1, равна 4.5.