Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-4x+5 y=x+1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми ( y = x^2 - 4x + 5 ) и ( y = x + 1 ), сначала нужно определить точки пересечения этих кривых. Это даст нам границы интегрирования.

1. Найдем точки пересечения: [ x^2 - 4x + 5 = x + 1 ] [ x^2 - 4x + 5 - x - 1 = 0 ] [ x^2 - 5x + 4 = 0 ]

   Решим это квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = 4 ). [ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} ] [ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} ] [ x = \frac{5 \pm 3}{2} ] [ x = 4 \quad \text{или} \quad x = 1 ]

   Таким образом, точки пересечения это ( x = 1 ) и ( x = 4 ).

2. Вычислим площадь между кривыми на интервале от ( x = 1 ) до ( x = 4 ). Площадь между двумя кривыми вычисляется по формуле: [ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} \left| f(x) - g(x) \right| \, dx ] где ( f(x) = x + 1 ) и ( g(x) = x^2 - 4x + 5 ).

   Так как ( x + 1 ) линейно и всегда выше ( x^2 - 4x + 5 ) на интервале от 1 до 4, то площадь будет: [ \text{Площадь} = \int{1}^{4} ((x + 1) - (x^2 - 4x + 5)) \, dx ] [ = \int{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \, dx ]

   Теперь интегрируем: [ \int (-x^2 + 5x - 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x + C ] Подставляем пределы: [ \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x\right]_1^4 ] [ = \left(-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1\right) ] [ = \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2.5 - 4\right) ] [ = \left(-\frac{64}{3} + 24\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1.5\right) ] [ = -\frac{64}{3} + 24 + \frac{1}{3} + 1.5 ] [ = -\frac{63}{3} + 25.5 ] [ = -21 + 25.5 ] [ = 4.5 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = x^2 - 4x + 5 ) и ( y = x + 1 ), равна 4.5 квадратных единиц.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2-4x+5 и y=x+1, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравниваем уравнения:

x^2-4x+5 = x+1 x^2-5x+4 = 0 (x-4)(x-1) = 0

x1 = 4 x2 = 1

Точки пересечения графиков находятся при x=1 и x=4. Теперь находим значения y в этих точках:

y(1) = 1 + 1 = 2 y(4) = 4 + 1 = 5

Таким образом, точки пересечения графиков A(1, 2) и B(4, 5) образуют прямоугольный треугольник с основанием 3 и высотой 3 (разница y-координат), поэтому площадь треугольника равна:

S = (1/2) 3 3 = 4.5

Ответ: площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2-4x+5 и y=x+1, равна 4.5.