Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2-х2, у = 0, х = -1, х = 0.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=2-x^2$, $y=0$, $x=-1$ и $x=0$, необходимо вычислить определённый интеграл. Давайте разберём процесс шаг за шагом.

1. Определение границ интегрирования:

   • По условию, границы интегрирования для $x$ заданы как от $-1$ до $0$.

2. Функции, ограничивающие фигуру:

   • Верхняя граница функции: $y=2-x^2$.
   • Нижняя граница функции: $y=0$.

3. Формула для вычисления площади: $A={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ Здесь $f(x$ = 2 - x^2 ) и $g(x$ = 0 ).

4. Подстановка в формулу: $A={\int }_{-1}^0(2-x^2)dx$

5. Вычисление интеграла:

   • Найдём первообразную функции $2-x^2$: $\int (2-x^2)dx=\int 2dx-\int x^{2}dx=2x-\frac{x^3}{3}+C$
   • Подставим пределы интегрирования: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_{-1}^{0} ]
   • Вычислим значения первообразной в заданных пределах: $A=(2(0)-\frac{0^3}{3})-(2(-1)-\frac{(-1{)}^3}{3})$ $A=(0)-(-2+\frac{1}{3})$ $A=2-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна $\frac{5}{3}$ квадратных единиц.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и построить график данной функции.

Сначала найдем точки пересечения линий у = 2-х2 и у = 0: 2-х2 = 0 -х2 = -2 x2 = 2 x = ±√2

Таким образом, точки пересечения линий у = 2-х2 и у = 0 равны х = -√2 и х = √2.

Теперь построим график функции y = 2-x^2. Он будет представлять собой параболу, направленную вниз. Таким образом, фигура, ограниченная линиями у = 2-х2, у = 0, х = -1, х = 0 будет являться частью параболы между точками пересечения с осями координат.

Для вычисления площади этой фигуры можно воспользоваться формулой определенного интеграла: S = ∫$a,b$ $f(x$ - g$x$)dx, где a и b - точки пересечения с осями координат, f$x$ - уравнение верхней границы фигуры, g$x$ - уравнение нижней границы фигуры.

S = ∫$-\surd 2,\surd 2$ $2-x^2-0$dx = ∫$-\surd 2,\surd 2$ $2-x^2$dx = $2x-(x^3)/3$ |$-\surd 2,\surd 2$ S = $2\surd 2-(\surd 2{)}^3/3$ - $2(-\surd 2)-((-\surd 2{)}^3)/3$ S = 8/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2-х2, у = 0, х = -1, х = 0 равна 8/3.

Для вычисления площади фигуры необходимо найти интеграл функции y = 2-x^2 в пределах от -1 до 0 и взять модуль этого значения. Получаем:

∫$2-x^2$dx от -1 до 0 = ∣$2x-(x^3$/3)∣ от -1 до 0 = ∣(20 - 0 - 2$-1$ - $(-1$^3)/3) - $2\ast (-1$ - $(-1$^3)/3)∣ = ∣$-2+1/3$ - $-2-1/3$∣ = ∣$-5/3$ - $-7/3$∣ = ∣2/3∣ = 2/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна 2/3.