Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2-х2, у = 0, х = -1, х = 0.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 2 - x^2 ), ( y = 0 ), ( x = -1 ) и ( x = 0 ), необходимо вычислить определённый интеграл. Давайте разберём процесс шаг за шагом.

1. Определение границ интегрирования:

   • По условию, границы интегрирования для ( x ) заданы как от (-1) до (0).

2. Функции, ограничивающие фигуру:

   • Верхняя граница функции: ( y = 2 - x^2 ).
   • Нижняя граница функции: ( y = 0 ).

3. Формула для вычисления площади: [ A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx ] Здесь ( f(x) = 2 - x^2 ) и ( g(x) = 0 ).

4. Подстановка в формулу: [ A = \int_{-1}^{0} (2 - x^2) \, dx ]

5. Вычисление интеграла:

   • Найдём первообразную функции ( 2 - x^2 ): [ \int (2 - x^2) \, dx = \int 2 \, dx - \int x^2 \, dx = 2x - \frac{x^3}{3} + C ]
   • Подставим пределы интегрирования: [ A = \left[ 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} ]
   • Вычислим значения первообразной в заданных пределах: [ A = \left( 2(0) - \frac{0^3}{3} \right) - \left( 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) ] [ A = (0) - (-2 + \frac{1}{3}) ] [ A = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна (\frac{5}{3}) квадратных единиц.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и построить график данной функции.

Сначала найдем точки пересечения линий у = 2-х2 и у = 0: 2-х2 = 0 -х2 = -2 x2 = 2 x = ±√2

Таким образом, точки пересечения линий у = 2-х2 и у = 0 равны х = -√2 и х = √2.

Теперь построим график функции y = 2-x^2. Он будет представлять собой параболу, направленную вниз. Таким образом, фигура, ограниченная линиями у = 2-х2, у = 0, х = -1, х = 0 будет являться частью параболы между точками пересечения с осями координат.

Для вычисления площади этой фигуры можно воспользоваться формулой определенного интеграла: S = ∫[a,b] (f(x) - g(x))dx, где a и b - точки пересечения с осями координат, f(x) - уравнение верхней границы фигуры, g(x) - уравнение нижней границы фигуры.

S = ∫[-√2, √2] (2-x^2 - 0)dx = ∫[-√2, √2] (2-x^2)dx = [2x - (x^3)/3] |[-√2, √2] S = [2√2 - (√2)^3/3] - [2(-√2) - ((-√2)^3)/3] S = 8/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2-х2, у = 0, х = -1, х = 0 равна 8/3.

Для вычисления площади фигуры необходимо найти интеграл функции y = 2-x^2 в пределах от -1 до 0 и взять модуль этого значения. Получаем:

∫(2-x^2)dx от -1 до 0 = ∣(2x - (x^3)/3)∣ от -1 до 0 = ∣(20 - 0 - 2(-1) - ((-1)^3)/3) - (2*(-1) - ((-1)^3)/3)∣ = ∣(-2 + 1/3) - (-2 - 1/3)∣ = ∣(-5/3) - (-7/3)∣ = ∣2/3∣ = 2/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна 2/3.