Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=1-х^2,у=0(единичный отрезок равен 2 клеткам)

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=1-х^2 и у=0, нужно найти площадь между этими двумя кривыми. Для этого сначала найдем точки их пересечения.

У=1-х^2 и у=0 пересекаются в точках, где 1-х^2=0. Решая это уравнение, получаем х=±1.

Площадь между кривыми и осью x можно найти с помощью определенного интеграла. Интеграл будет выглядеть следующим образом:

∫[от -1 до 1] (1 - x^2) dx

Вычислим данный интеграл:

∫[от -1 до 1] (1 - x^2) dx = x - (x^3)/3 |[от -1 до 1] = [1 - 1/3] - [-1 + 1/3] = 2/3 + 2/3 = 4/3 клетки

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у=1-х^2 и у=0, равна 4/3 клетки.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 1 - x^2 ) и ( y = 0 ), мы сначала определим границы интегрирования, затем вычислим определённый интеграл.

Шаг 1: Найдите точки пересечения

Линия ( y = 0 ) представляет собой ось абсцисс. Чтобы найти точки пересечения параболы ( y = 1 - x^2 ) с осью абсцисс, приравняем уравнение параболы к нулю:

[ 1 - x^2 = 0 ]

Решим это уравнение:

[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 ]

Таким образом, точки пересечения — это ( x = -1 ) и ( x = 1 ).

Шаг 2: Вычислите определённый интеграл

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно вычислить определённый интеграл от функции ( y = 1 - x^2 ) по оси ( x ) в пределах от (-1) до (1):

[ A = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx ]

Рассчитаем этот интеграл:

[ A = \int{-1}^{1} 1 \, dx - \int{-1}^{1} x^2 \, dx ]

Вычислим отдельно каждый из интегралов:

1. (\int{-1}^{1} 1 \, dx = [x]{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2)

2. (\int{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]{-1}^{1} = \left(\frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3}\right) = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3})

Теперь подставим результаты в выражение для площади:

[ A = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} ]

Шаг 3: Учтите масштаб

Так как условие задачи указало, что единичный отрезок равен 2 клеткам, фактическая площадь будет в 4 раза больше (так как площадь увеличивается в квадрате масштабного коэффициента, а коэффициент равен 2):

[ A_{\text{реальная}} = \frac{4}{3} \times 4 = \frac{16}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 1 - x^2 ) и ( y = 0 ), с учётом заданного масштаба, равна (\frac{16}{3}) квадратных единиц.

Площадь фигуры равна 2 квадратным клеткам.