Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y= 4-х^2, y=х+5, x=-1, x=1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения и построить график данной области.

1. Найдем точки пересечения линий y=4-x^2 и y=x+5: 4-x^2 = x+5 -x^2 - x - 1 = 0 Получаем квадратное уравнение, решив которое, найдем две точки пересечения: (-1, 6) и (1, 4).

2. Теперь построим график фигуры, ограниченной линиями x=-1, x=1, y=4-x^2 и y=x+5. На этом графике видно, что рассматриваемая область ограничена линиями x=-1 и x=1 снизу, а сверху линиями y=4-x^2 и y=x+5.

3. Площадь данной фигуры можно найти как интеграл от y=4-x^2 до y=x+5 по x от -1 до 1. После выполнения необходимых вычислений получим значение площади.

Итак, для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=4-х^2, y=х+5, x=-1, x=1 необходимо найти точки пересечения линий, построить график фигуры и вычислить интеграл для нахождения площади.

Площадь фигуры равна 5.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и прямыми линиями, нужно найти область, заключенную между этими линиями и затем интегрировать. В данном случае фигура ограничена параболой (y = 4 - x^2), прямой (y = x + 5), и вертикальными линиями (x = -1) и (x = 1).

1. Определить точки пересечения кривых и прямых линий в пределах заданного интервала:

   • Пересечение параболы (y = 4 - x^2) и прямой (y = x + 5): [ 4 - x^2 = x + 5 ] Переносим все в одну часть уравнения: [ -x^2 - x + 4 - 5 = 0 \implies x^2 + x + 1 = 0 ] Решаем квадратное уравнение: [ D = b^2 - 4ac = 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 ] Поскольку дискриминант отрицательный ((D < 0)), уравнение не имеет действительных корней, а значит, парабола и прямая не пересекаются в области реальных чисел.

2. Определить точки пересечения с вертикальными линиями (x = -1) и (x = 1):

   • Подставляем (x = -1) в уравнения: [ y = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 ] [ y = -1 + 5 = 4 ] Точки пересечения: ((-1, 3)) на параболе и ((-1, 4)) на прямой.

   • Подставляем (x = 1) в уравнения: [ y = 4 - 1^2 = 4 - 1 = 3 ] [ y = 1 + 5 = 6 ] Точки пересечения: ((1, 3)) на параболе и ((1, 6)) на прямой.

3. Определить область интегрирования:

   Поскольку (y = 4 - x^2) лежит ниже (y = x + 5) в интервале от (x = -1) до (x = 1), нам нужно найти разницу между этими функциями в этом интервале.

4. Вычислить площадь через интеграл:

   Площадь (A) между функциями определяется как: [ A = \int{-1}^{1} [(x + 5) - (4 - x^2)] \, dx ] Упростим подинтегральное выражение: [ A = \int{-1}^{1} [x + 5 - 4 + x^2] \, dx = \int_{-1}^{1} [x^2 + x + 1] \, dx ]

5. Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

   [ \int{-1}^{1} x^2 \, dx + \int{-1}^{1} x \, dx + \int_{-1}^{1} 1 \, dx ]

   • (\int{-1}^{1} x^2 \, dx): [ \left[ \frac{x^3}{3} \right]{-1}^{1} = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ]

   • (\int{-1}^{1} x \, dx): [ \left[ \frac{x^2}{2} \right]{-1}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 ]

   • (\int{-1}^{1} 1 \, dx): [ \left[ x \right]{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 ]

6. Сложим все результаты:

   [ A = \frac{2}{3} + 0 + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями (y = 4 - x^2), (y = x + 5), (x = -1), и (x = 1), равна (\frac{8}{3}) квадратных единиц.