Вычислите площадь фигу ограниченной линиями y=4-x^2 и y=x+2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя данными функциями, нужно найти точки их пересечения, которые являются границами этой фигуры. Для этого приравниваем две функции и находим значения x:

4 - x^2 = x + 2 x^2 + x - 2 = 0 (x + 2)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем x = -2 и x = 1. Теперь можем найти соответствующие значения y, подставив найденные x обратно в уравнения:

Для x = -2: y = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0 y = -2 + 2 = 0

Для x = 1: y = 4 - (1)^2 = 4 - 1 = 3 y = 1 + 2 = 3

Таким образом, получаем точки пересечения: (-2, 0) и (1, 3). Теперь можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x))dx = ∫[-2, 1] ((4 - x^2) - (x + 2))dx S = ∫[-2, 1] (2 - x^2 - x)dx = [2x - (x^3/3) - (x^2/2)]|[-2, 1] S = 21 - (1^3/3) - (1^2/2) - (2(-2) - ((-2)^3/3) - ((-2)^2/2)) S = 2 - 1/3 - 1/2 - 2 - 8/3 - 2 S = -7/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x^2 и y = x + 2, равна -7/6.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y=4-x^2 и y=x+2, необходимо найти точки их пересечения и проинтегрировать разность между этими функциями в заданных пределах.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 4 - x^2 ) и ( y = x + 2 ), нужно сначала найти точки пересечения этих кривых.

1. Нахождение точек пересечения:

   Приравняем правые части уравнений: [ 4 - x^2 = x + 2 ] Переносим всё в одну часть уравнения: [ 4 - x^2 - x - 2 = 0 ] Упрощаем: [ -x^2 - x + 2 = 0 ] Умножим обе части уравнения на (-1): [ x^2 + x - 2 = 0 ]

   Решим квадратное уравнение (x^2 + x - 2 = 0) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} ] Получаем: [ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 ]

   Значит, точки пересечения кривых: ( x = 1 ) и ( x = -2 ).

2. Вычисление площади:

   Площадь фигуры между двумя кривыми ( y = f(x) ) и ( y = g(x) ) на интервале ([a, b]) вычисляется по формуле: [ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx ]

   В нашем случае ( f(x) = 4 - x^2 ) и ( g(x) = x + 2 ). Интервал интегрирования от (-2) до (1).

   Подставляем и вычисляем интеграл: [ \text{Площадь} = \int_{-2}^{1} [(4 - x^2) - (x + 2)] \, dx ] Упрощаем подынтегральное выражение: [ 4 - x^2 - x - 2 = 2 - x^2 - x ]

   Интеграл становится: [ \text{Площадь} = \int_{-2}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx ]

   Разделим интеграл на три части: [ \text{Площадь} = \int{-2}^{1} 2 \, dx - \int{-2}^{1} x^2 \, dx - \int_{-2}^{1} x \, dx ]

   Вычислим каждый интеграл отдельно:

   [ \int{-2}^{1} 2 \, dx = 2x \bigg|{-2}^{1} = 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) = 2 + 4 = 6 ]

   [ \int{-2}^{1} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|{-2}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3 ]

   [ \int{-2}^{1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|{-2}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} ]

   Складываем результаты: [ \text{Площадь} = 6 - 3 - \left( -\frac{3}{2} \right) = 6 - 3 + \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 ]

   Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 4 - x^2 ) и ( y = x + 2 ), равна ( 4.5 ) квадратных единиц.