Вычислите косинус угла между векторами p и q, если р(3,-4); q (15,8)

Для того чтобы вычислить косинус угла между двумя векторами ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ), можно воспользоваться следующей формулой:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}| |\mathbf{q}|} ]

где ( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} ) обозначает скалярное произведение векторов ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ), а ( |\mathbf{p}| ) и ( |\mathbf{q}| ) — длины (или нормы) этих векторов.

1. Скалярное произведение ( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} ): Для векторов ( \mathbf{p} = (3, -4) ) и ( \mathbf{q} = (15, 8) ), скалярное произведение равно: [ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 3 \times 15 + (-4) \times 8 = 45 - 32 = 13 ]

2. Длины векторов ( |\mathbf{p}| ) и ( |\mathbf{q}| ): [ |\mathbf{p}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ] [ |\mathbf{q}| = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 ]

3. Косинус угла ( \theta ) между ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ): [ \cos \theta = \frac{13}{5 \times 17} = \frac{13}{85} = 0.15294 ]

Итак, косинус угла между векторами ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ) равен примерно 0.15294. Это значение показывает, что угол между векторами является острым, так как косинус острых углов положителен.

Для вычисления косинуса угла между векторами p и q используем формулу:

cos(θ) = (p q) / (||p|| ||q||),

где p * q - скалярное произведение векторов p и q, ||p|| и ||q|| - длины векторов p и q соответственно.

Для начала найдем длины векторов p и q:

||p|| = √(3^2 + (-4)^2) = √(9+16) = √25 = 5, ||q|| = √(15^2 + 8^2) = √(225 + 64) = √289 = 17.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов p и q:

p q = 315 + (-4)*8 = 45 - 32 = 13.

Подставляем полученные значения в формулу для косинуса угла:

cos(θ) = 13 / (5 * 17) = 13 / 85 ≈ 0.1529.

Таким образом, косинус угла между векторами p и q равен примерно 0.1529.