Вычислите интеграл от 2 до -1 x^4dx

Для вычисления данного интеграла мы будем использовать формулу интегрирования степенной функции. Интеграл от x^n dx равен $x^{(}n+1$)/$n+1$ + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, для данного интеграла от x^4dx, получаем:

Интеграл от x^4 dx = $x^5$/5 + C

Теперь вычислим значение этого интеграла на отрезке от 2 до -1:

∫$2,-1$ x^4 dx = $(2^5)/5+C$ - $(-1{)}^5/5+C$ = $32/5+C$ - $-1/5+C$ = 33/5 + C + 1/5 - C = 34/5

Таким образом, интеграл от 2 до -1 x^4dx равен 34/5.

Чтобы вычислить определённый интеграл ${\int }_2^{-1}{x}^{4}dx$, сначала нужно обратить внимание на пределы интегрирования. Здесь верхний предел $-1$ меньше нижнего $2$, что означает, что мы можем поменять пределы интегрирования местами, изменив знак интеграла:

[ \int{2}^{-1} x^4 \, dx = -\int{-1}^{2} x^4 \, dx ]

Теперь вычислим интеграл ${\int }_{-1}^2{x}^{4}dx$. Найдём неопределённый интеграл:

$\int x^{4}dx=\frac{x^5}{5}+C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования, которая не понадобится для вычисления определённого интеграла.

Теперь подставим пределы интегрирования в выражение:

[ \int{-1}^{2} x^4 \, dx = \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}${-1}^{2} = \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ - \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ]

Вычислим значения:

$\frac{2^5}{5}=\frac{32}{5}$

$\frac{(-1{)}^5}{5}=\frac{-1}{5}$

Подставляем эти значения:

$\left(\frac{32}{5}\right)-\left(\frac{-1}{5}\right)=\frac{32}{5}+\frac{1}{5}=\frac{33}{5}$

Таким образом, значение интеграла ${\int }_{-1}^2{x}^{4}dx$ равно $\frac{33}{5}$.

Теперь вернёмся к исходной задаче с учётом смены знака:

${\int }_2^{-1}{x}^{4}dx=-\frac{33}{5}=-\frac{33}{5}$

Таким образом, окончательный ответ: $-\frac{33}{5}$.