Вычислите интеграл от 2 до -1 x^4dx

Для вычисления данного интеграла мы будем использовать формулу интегрирования степенной функции. Интеграл от x^n dx равен (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, для данного интеграла от x^4dx, получаем:

Интеграл от x^4 dx = (x^5)/5 + C

Теперь вычислим значение этого интеграла на отрезке от 2 до -1:

∫[2, -1] x^4 dx = [(2^5)/5 + C] - [(-1)^5/5 + C] = (32/5 + C) - (-1/5 + C) = 33/5 + C + 1/5 - C = 34/5

Таким образом, интеграл от 2 до -1 x^4dx равен 34/5.

Чтобы вычислить определённый интеграл (\int_{2}^{-1} x^4 \, dx), сначала нужно обратить внимание на пределы интегрирования. Здесь верхний предел (-1) меньше нижнего (2), что означает, что мы можем поменять пределы интегрирования местами, изменив знак интеграла:

[ \int{2}^{-1} x^4 \, dx = -\int{-1}^{2} x^4 \, dx ]

Теперь вычислим интеграл (\int_{-1}^{2} x^4 \, dx). Найдём неопределённый интеграл:

[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C ]

Здесь (C) — произвольная постоянная интегрирования, которая не понадобится для вычисления определённого интеграла.

Теперь подставим пределы интегрирования в выражение:

[ \int{-1}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]{-1}^{2} = \left( \frac{2^5}{5} \right) - \left( \frac{(-1)^5}{5} \right) ]

Вычислим значения:

[ \frac{2^5}{5} = \frac{32}{5} ]

[ \frac{(-1)^5}{5} = \frac{-1}{5} ]

Подставляем эти значения:

[ \left( \frac{32}{5} \right) - \left( \frac{-1}{5} \right) = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5} ]

Таким образом, значение интеграла (\int_{-1}^{2} x^4 \, dx) равно (\frac{33}{5}).

Теперь вернёмся к исходной задаче с учётом смены знака:

[ \int_{2}^{-1} x^4 \, dx = -\frac{33}{5} = -\frac{33}{5} ]

Таким образом, окончательный ответ: (-\frac{33}{5}).