Вычислите 3 в степени 1/2 * 9 в степени 3/4 / 2 в степени 2/3 * 4 в степени 2/3

Для вычисления выражения ( \frac{3^{1/2} \cdot 9^{3/4}}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}} ), начнем с упрощения каждого компонента.

1. Упрощение ( 9^{3/4} ): ( 9 ) можно представить как ( 3^2 ). Тогда: [ 9^{3/4} = (3^2)^{3/4} = 3^{2 \cdot (3/4)} = 3^{3/2} ]

2. Подстановка в выражение: Теперь подставим полученное значение в исходное выражение: [ \frac{3^{1/2} \cdot 9^{3/4}}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}} = \frac{3^{1/2} \cdot 3^{3/2}}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}} ]

3. Сложение показателей степени для 3: [ 3^{1/2} \cdot 3^{3/2} = 3^{(1/2 + 3/2)} = 3^{4/2} = 3^2 = 9 ]

4. Упрощение ( 4^{2/3} ): ( 4 ) можно представить как ( 2^2 ). Тогда: [ 4^{2/3} = (2^2)^{2/3} = 2^{2 \cdot (2/3)} = 2^{4/3} ]

5. Подстановка в выражение: Теперь у нас есть: [ \frac{9}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}} = \frac{9}{2^{2/3} \cdot 2^{4/3}} = \frac{9}{2^{(2/3 + 4/3)}} = \frac{9}{2^{6/3}} = \frac{9}{2^2} = \frac{9}{4} ]

6. Финальный ответ: Таким образом, окончательный результат вычисления выражения: [ \frac{3^{1/2} \cdot 9^{3/4}}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}} = \frac{9}{4} ]

Ответ: ( \frac{9}{4} ).

Для вычисления выражения ( \frac{3^{1/2} \cdot 9^{3/4}}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}} ) сначала упростим его.

1. ( 9^{3/4} = (3^2)^{3/4} = 3^{3/2} ).

2. Поэтому в числителе: ( 3^{1/2} \cdot 3^{3/2} = 3^{(1/2 + 3/2)} = 3^{2} = 9 ).

3. В знаменателе: ( 4^{2/3} = (2^2)^{2/3} = 2^{4/3} ), тогда ( 2^{2/3} \cdot 4^{2/3} = 2^{2/3} \cdot 2^{4/3} = 2^{(2/3 + 4/3)} = 2^{6/3} = 2^{2} = 4 ).

Теперь подставим эти значения в выражение:

[ \frac{9}{4} ]

Таким образом, ответ: ( \frac{9}{4} ).

Разберем данное выражение поэтапно:

Выражение:
[ \frac{3^{1/2} \cdot 9^{3/4}}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}} ]

1. Преобразуем основание 9

Число (9) можно переписать как (3^2), так как (9 = 3^2).
Тогда (9^{3/4}) можно записать в виде: [ 9^{3/4} = (3^2)^{3/4}. ] По свойству степеней ((a^m)^n = a^{m \cdot n}), получаем: [ (3^2)^{3/4} = 3^{2 \cdot 3/4} = 3^{6/4} = 3^{3/2}. ]

Теперь выражение становится: [ \frac{3^{1/2} \cdot 3^{3/2}}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}}. ]

2. Упростим числитель

В числителе у нас произведение (3^{1/2} \cdot 3^{3/2}). По правилу сложения показателей степеней (a^m \cdot a^n = a^{m+n}), имеем: [ 3^{1/2} \cdot 3^{3/2} = 3^{(1/2 + 3/2)} = 3^{4/2} = 3^2. ]

Теперь выражение упрощается до: [ \frac{3^2}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}}. ]

3. Преобразуем основание 4

Число (4) можно записать как (2^2), так как (4 = 2^2).
Тогда (4^{2/3}) можно записать в виде: [ 4^{2/3} = (2^2)^{2/3}. ] По свойству степеней ((a^m)^n = a^{m \cdot n}), получаем: [ (2^2)^{2/3} = 2^{2 \cdot 2/3} = 2^{4/3}. ]

Теперь знаменатель выражения становится: [ 2^{2/3} \cdot 4^{2/3} = 2^{2/3} \cdot 2^{4/3}. ]

4. Упростим знаменатель

В знаменателе у нас произведение (2^{2/3} \cdot 2^{4/3}).
По правилу сложения показателей степеней (a^m \cdot a^n = a^{m+n}), имеем: [ 2^{2/3} \cdot 2^{4/3} = 2^{(2/3 + 4/3)} = 2^{6/3} = 2^2. ]

5. Подставим упрощенные значения

Теперь выражение становится: [ \frac{3^2}{2^2}. ]

Вычислим числитель и знаменатель: [ 3^2 = 9, \quad 2^2 = 4. ]

И окончательный результат: [ \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}. ]

Ответ:

[ \frac{9}{4}. ]