Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4x+6 и y=6

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и определить границы интегрирования по оси x.

Сначала найдем точки пересечения двух функций: y = x^2 - 4x + 6 y = 6

Подставим второе уравнение в первое: 6 = x^2 - 4x + 6 x^2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 4

Теперь для нахождения площади фигуры необходимо вычислить определенный интеграл от разности двух функций по оси x на интервале от x = 0 до x = 4: S = ∫[0,4] (6 - (x^2 - 4x + 6)) dx S = ∫[0,4] (4x - x^2) dx

После вычисления данного интеграла, получим площадь фигуры, ограниченной данными кривыми.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, сначала необходимо определить точки пересечения кривой и прямой. Для этого приравняем уравнения:

[ y = x^2 - 4x + 6 ] [ y = 6 ]

Приравниваем правые части уравнений:

[ x^2 - 4x + 6 = 6 ]

Упростим уравнение:

[ x^2 - 4x + 6 - 6 = 0 ] [ x^2 - 4x = 0 ]

Решим это уравнение. Вынесем ( x ) за скобки:

[ x(x - 4) = 0 ]

Отсюда получаем два корня:

[ x = 0 ] [ x = 4 ]

Таким образом, точки пересечения линии и параболы находятся при ( x = 0 ) и ( x = 4 ).

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = x^2 - 4x + 6 ) и прямой ( y = 6 ) на интервале от ( x = 0 ) до ( x = 4 ). Площадь между кривой и прямой будет равна интегралу от разности функции прямой и функции параболы:

[ A = \int_{0}^{4} (6 - (x^2 - 4x + 6)) \, dx ]

Упростим подынтегральное выражение:

[ 6 - (x^2 - 4x + 6) = -x^2 + 4x ]

Теперь вычислим интеграл:

[ A = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx ]

Рассчитаем этот интеграл:

[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{4} ]

Подставим пределы интегрирования:

[ A = \left(-\frac{4^3}{3} + 2 \times 4^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 2 \times 0^2\right) ]

[ A = \left(-\frac{64}{3} + 32\right) - \left(0\right) ]

[ A = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} ]

[ A = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} ]

[ A = \frac{32}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 - 4x + 6 ) и ( y = 6 ), равна (\frac{32}{3}) квадратных единиц.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими двумя функциями, нужно найти точки их пересечения, которые соответствуют точкам, где y=x^2-4x+6 равно y=6. После этого можно интегрировать разность этих функций от точки пересечения до точки минимального/максимального значения x, чтобы найти площадь.