Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями f (x) =x2 , x=1 , x=2 , y=0

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ( f(x) = x^2 ), ( x = 1 ), ( x = 2 ), и ( y = 0 ), мы найдем площадь под кривой ( f(x) = x^2 ) на интервале от ( x = 1 ) до ( x = 2 ).

1. Определение границ интегрирования:

   • Нижняя граница: ( x = 1 )
   • Верхняя граница: ( x = 2 )

2. Функция и ось OX:

   • Функция ( f(x) = x^2 ) представляет собой параболу, открывающуюся вверх.
   • Ось ( y = 0 ) (то есть ось OX) представляет собой нижнюю границу для площади, которую мы ищем.

3. Вычисление интеграла: Площадь под кривой ( f(x) = x^2 ) от ( x = 1 ) до ( x = 2 ) можно найти с помощью определённого интеграла: [ A = \int_{1}^{2} x^2 \, dx ]

4. Нахождение первообразной: Первообразная функции ( x^2 ) — это ( \frac{x^3}{3} ).

5. Вычисление значения интеграла: Подставим пределы интегрирования в первообразную: [ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} \right) ] [ A = \left( \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (\frac{7}{3}) квадратных единиц.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = x^2, x = 1, x = 2 и y = 0, необходимо найти площадь под кривой f(x) = x^2 в интервале от x = 1 до x = 2 и ограниченной осью x.

Сначала найдем точки пересечения кривой f(x) = x^2 с вертикальными линиями x = 1 и x = 2. Подставляя значения x = 1 и x = 2 в уравнение кривой, получаем точки (1, 1) и (2, 4).

Затем вычисляем интеграл от функции f(x) = x^2 в пределах от x = 1 до x = 2. Интеграл от x^2 можно найти как (1/3)x^3. Подставляя верхний и нижний пределы интегрирования, мы получаем (1/3)2^3 - (1/3)*1^3 = (8/3) - (1/3) = 7/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями f(x) = x^2, x = 1, x = 2 и y = 0, равна 7/3 или приблизительно 2.33 единицы площади.