Вычислить: 1)³√10⁶ 2)³√3¹² 3)⁴√(1/2)¹² 4)⁴√(1/3)¹⁶

Конечно, давайте рассмотрим каждый пример по отдельности и вычислим корни.

1. (\sqrt[3]{10^6})

Начнем с выражения (\sqrt[3]{10^6}). Это означает нахождение кубического корня числа (10^6).

Шаги решения:

1. Перепишем под корнем как ( (10^6)^{1/3} ).
2. Используем свойства степеней: ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ).
3. Получаем: ( 10^{6 \cdot (1/3)} = 10^2 ).

Итак, (\sqrt[3]{10^6} = 10^2 = 100).

2. (\sqrt[3]{3^{12}})

Теперь рассмотрим (\sqrt[3]{3^{12}}).

Шаги решения:

1. Перепишем под корнем как ( (3^{12})^{1/3} ).
2. Используем свойства степеней: ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ).
3. Получаем: ( 3^{12 \cdot (1/3)} = 3^4 ).

Итак, (\sqrt[3]{3^{12}} = 3^4 = 81).

3. (\sqrt[4]{(1/2)^{12}})

Теперь решим (\sqrt[4]{(1/2)^{12}}).

Шаги решения:

1. Перепишем под корнем как ( \left( \frac{1}{2}^{12} \right)^{1/4} ).
2. Используем свойства степеней: ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ).
3. Получаем: ( \left( \frac{1}{2} \right)^{12 \cdot (1/4)} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 ).
4. Возводим в степень 3: ( \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} ).

Итак, (\sqrt[4]{(1/2)^{12}} = \frac{1}{8}).

4. (\sqrt[4]{(1/3)^{16}})

Теперь решим (\sqrt[4]{(1/3)^{16}}).

Шаги решения:

1. Перепишем под корнем как ( \left( \frac{1}{3}^{16} \right)^{1/4} ).
2. Используем свойства степеней: ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ).
3. Получаем: ( \left( \frac{1}{3} \right)^{16 \cdot (1/4)} = \left( \frac{1}{3} \right)^4 ).
4. Возводим в степень 4: ( \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} ).

Итак, (\sqrt[4]{(1/3)^{16}} = \frac{1}{81}).

Итоговые ответы:

1. (\sqrt[3]{10^6} = 100)
2. (\sqrt[3]{3^{12}} = 81)
3. (\sqrt[4]{(1/2)^{12}} = \frac{1}{8})
4. (\sqrt[4]{(1/3)^{16}} = \frac{1}{81})

1) ³√10⁶ = 10² = 100 2) ³√3¹² = 3⁴ = 81 3) ⁴√(1/2)¹² = (1/2)³ = 1/8 4) ⁴√(1/3)¹⁶ = (1/3)⁴ = 1/81