Вычеслите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2+6х-5,у=0,х=1,х=3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 + 6x - 5 ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = 3 ), необходимо интегрировать функцию ( y = x^2 + 6x - 5 ) по ( x ) от 1 до 3.

1. Определение границ интегрирования:

   • Горизонтальные линии ( y = 0 ) и вертикальные линии ( x = 1 ), ( x = 3 ) определяют область, где мы будем искать площадь.

2. Интегрирование функции:

   • Функция ( y = x^2 + 6x - 5 ) задаёт кривую. Нам нужно найти определённый интеграл этой функции от 1 до 3: [ \int_{1}^{3} (x^2 + 6x - 5) \, dx ]

3. Вычисление интеграла:

   • Найдём первообразную функции ( x^2 + 6x - 5 ): [ \int (x^2 + 6x - 5) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} - 5x + C ]
   • Упрощаем: [ \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x + C ]

4. Подстановка границ интегрирования:

   • Вычисляем интеграл в пределах от 1 до 3: [ \left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{3} ]
   • Подставим верхнюю границу: [ \left( \frac{3^3}{3} + 3 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 \right) = \left( \frac{27}{3} + 27 - 15 \right) = 9 + 27 - 15 = 21 ]
   • Подставим нижнюю границу: [ \left( \frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 \right) = \left( \frac{1}{3} + 3 - 5 \right) = \frac{1}{3} + 3 - 5 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3} ]

5. Нахождение разности:

   • Площадь под кривой от 1 до 3: [ 21 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 21 + \frac{5}{3} = \frac{63}{3} + \frac{5}{3} = \frac{68}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (\frac{68}{3}) квадратных единиц.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки пересечения функции y = x^2 + 6x - 5 с осями x и вертикальными линиями x = 1 и x = 3.

Для начала найдем точки пересечения функции с осями x. Для этого решим уравнение x^2 + 6x - 5 = 0:

x^2 + 6x - 5 = 0 (x + 1)(x + 5) = 0

Отсюда получаем два корня: x = -1 и x = 5.

Теперь найдем точки пересечения функции с вертикальными линиями x = 1 и x = 3. Подставим значения x = 1 и x = 3 в уравнение функции:

Для x = 1: y = 1^2 + 61 - 5 = 2 Для x = 3: y = 3^2 + 63 - 5 = 16

Таким образом, получаем точки пересечения: (-1, 0), (1, 2), (3, 16) и (5, 0).

Теперь построим график функции y = x^2 + 6x - 5 и вертикальных линий x = 1 и x = 3. Площадь фигуры ограничена этими линиями и графиком функции.

Для вычисления площади фигуры можно воспользоваться методом определенного интеграла. Площадь S фигуры между криволинейными линиями и осями x вычисляется по формуле:

S = ∫[a,b] |f(x)| dx,

где a и b - границы интегрирования, f(x) - уравнение функции.

Подставим значения a = -1, b = 5 и f(x) = x^2 + 6x - 5 в формулу определенного интеграла и произведем вычисления:

S = ∫[-1,5] |x^2 + 6x - 5| dx

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y = x^2 + 6x - 5, y = 0, x = 1, x = 3 равна результату вычисления определенного интеграла.