Все значения х , при которых значения выражений корень из (4-х) , корень из (2х-2) , 4 являются тремя...

Чтобы найти все значения ( x ), при которых выражения ( \sqrt{4-x} ), ( \sqrt{2x-2} ) и ( 4 ) являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, следует воспользоваться свойствами геометрической прогрессии.

В геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Пусть знаменатель прогрессии равен ( q ). Тогда можно записать уравнения для трех членов прогрессии:

1. ( \sqrt{2x-2} = q \cdot \sqrt{4-x} )
2. ( 4 = q \cdot \sqrt{2x-2} )

Теперь выразим ( q ) из второго уравнения:

[ q = \frac{4}{\sqrt{2x-2}} ]

Подставим это выражение для ( q ) в первое уравнение:

[ \sqrt{2x-2} = \frac{4}{\sqrt{2x-2}} \cdot \sqrt{4-x} ]

Умножим обе стороны на ( \sqrt{2x-2} ) для избавления от дроби:

[ (2x-2) = 4 \cdot \sqrt{4-x} ]

Преобразуем это уравнение:

[ 2x-2 = 4 \cdot \sqrt{4-x} ]

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы убрать корень:

[ (2x-2)^2 = 16 \cdot (4-x) ]

Раскроем скобки:

[ 4x^2 - 8x + 4 = 64 - 16x ]

Перенесем все члены в одну сторону:

[ 4x^2 + 8x + 4 - 64 + 16x = 0 ]

Упростим уравнение:

[ 4x^2 + 24x - 60 = 0 ]

Разделим все уравнение на 4:

[ x^2 + 6x - 15 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 36 + 60 = 96 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{2} ]

[ \sqrt{96} = 4\sqrt{6} ]

[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{6}}{2} ]

[ x_1 = -3 + 2\sqrt{6}, \quad x_2 = -3 - 2\sqrt{6} ]

Поскольку значения под корнем должны быть неотрицательными, проверим условия:

1. ( 4-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4 )
2. ( 2x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 )

Из этого следует, что допустимые значения для ( x ) находятся в интервале от 1 до 4. Проверим, какие из найденных корней удовлетворяют этому условию:

• Для ( x = -3 + 2\sqrt{6} ) проверим, входит ли в интервал ([1, 4]).

Приблизительное значение ( 2\sqrt{6} \approx 4.9 ), следовательно, ( -3 + 4.9 = 1.9 ), что входит в интервал.

• Корень ( x = -3 - 2\sqrt{6} \approx -7.9 ), что не входит в интервал.

Таким образом, единственным подходящим значением является ( x = -3 + 2\sqrt{6} ).

Для того чтобы значения выражений корень из (4-х), корень из (2х-2) и 4 являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы отношение любого члена к предыдущему равнялось отношению следующего члена к текущему.

Итак, пусть первый член прогрессии - корень из (4-х), второй член - корень из (2х-2), третий член - 4. Тогда, чтобы они образовывали геометрическую прогрессию, должно выполняться следующее условие:

(корень из (2х-2)) / (корень из (4-х)) = 4 / (корень из (2х-2))

Выполняя несложные алгебраические преобразования, мы найдем все значения x, при которых данное условие выполняется.