Велосипедист проехал из поселка на станцию, удаленную на расстояние 30км, и через некоторое время вернулся...

Обозначим скорость велосипедиста на пути к станции как ( v ) км/ч. Тогда время, затраченное на путь в одну сторону, составит ( \frac{30}{v} ) часов. На обратном пути скорость составила ( v - 3 ) км/ч, и время на обратный путь будет ( \frac{30}{v - 3} ) часов.

Согласно условию задачи, на обратный путь он затратил на 20 минут больше, что равно ( \frac{1}{3} ) часа. Таким образом, мы можем записать уравнение:

[ \frac{30}{v - 3} - \frac{30}{v} = \frac{1}{3} ]

Умножим обе стороны уравнения на ( 3v(v - 3) ) для избавления от дробей:

[ 3v \cdot 30 - 3(v - 3) \cdot 30 = v(v - 3) ]

Это упростится до:

[ 90v - 90(v - 3) = v^2 - 3v ]

После упрощения получаем:

[ 90v - 90v + 270 = v^2 - 3v ]

Или:

[ v^2 - 3v - 270 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Применим формулу дискриминанта:

[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ v = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 33}{2} ]

Таким образом, получаем два значения:

[ v_1 = \frac{36}{2} = 18 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-30}{2} = -15 ]

Так как скорость не может быть отрицательной, скорость велосипедиста на пути к станции составляет 18 км/ч.

Чтобы решить задачу, введем обозначения и используем данные из условия. Пусть скорость велосипедиста из поселка на станцию была ( v ) км/ч. На обратном пути он ехал со скоростью ( v - 3 ) км/ч. Также известно, что расстояние между поселком и станцией равно 30 км, а время на обратный путь оказалось на 20 минут дольше, чем на путь туда.

1. Время в пути туда и обратно

Время в пути рассчитывается по формуле: [ t = \frac{s}{v}, ] где ( s ) — расстояние, ( v ) — скорость, ( t ) — время.

• Время на путь из поселка на станцию: [ t_1 = \frac{30}{v}. ]

• Время на обратный путь: [ t_2 = \frac{30}{v - 3}. ]

Также известно, что ( t_2 ) на 20 минут (или ( \frac{1}{3} ) часа) больше, чем ( t_1 ): [ t_2 = t_1 + \frac{1}{3}. ]

2. Составление уравнения

Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) в уравнение: [ \frac{30}{v - 3} = \frac{30}{v} + \frac{1}{3}. ]

Упростим это уравнение. Для удобства избавимся от дробей, умножив обе стороны на общий знаменатель ( 3v(v - 3) ): [ 3v(v - 3) \cdot \frac{30}{v - 3} = 3v(v - 3) \cdot \frac{30}{v} + 3v(v - 3) \cdot \frac{1}{3}. ]

Упрощаем каждую часть: [ 90v = 90(v - 3) + v(v - 3). ]

Раскроем скобки: [ 90v = 90v - 270 + v^2 - 3v. ]

Сократим ( 90v ) с обеих сторон и приведем к стандартному виду: [ v^2 - 3v - 270 = 0. ]

3. Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение: [ v^2 - 3v - 270 = 0. ]

Решаем его с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089. ]

Находим корни: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 1}. ]

[ v = \frac{3 \pm 33}{2}. ]

Получаем два значения: [ v_1 = \frac{3 + 33}{2} = 18, \quad v_2 = \frac{3 - 33}{2} = -15. ]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому ( v = 18 ) км/ч.

4. Проверка решения

Подставим ( v = 18 ) в исходные формулы для времени:

• Время на путь туда: [ t_1 = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \, \text{часа} \, (\text{или 1 час 40 минут}). ]

• Скорость на обратном пути: [ v - 3 = 18 - 3 = 15 \, \text{км/ч}. ]

• Время на обратный путь: [ t_2 = \frac{30}{15} = 2 \, \text{часа}. ]

Разница во времени: [ t_2 - t_1 = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \, \text{часа} \, (\text{или 20 минут}), ] что соответствует условию.

Ответ:

Скорость велосипедиста из поселка на станцию была 18 км/ч.

Для решения этой задачи будем обозначать скорость велосипедиста на пути к станции через ( v ) км/ч. Тогда скорость на обратном пути составит ( v - 3 ) км/ч, так как он снизил скорость на 3 км/ч.

Расстояние от поселка до станции составляет 30 км. Время, которое велосипедист тратит на путь к станции, можно выразить как:

[ t_1 = \frac{30}{v} ]

Время, которое он тратит на обратный путь, будет:

[ t_2 = \frac{30}{v - 3} ]

По условию задачи, время на обратный путь на 20 минут больше времени на путь к станции. Учтем, что 20 минут — это ( \frac{1}{3} ) часа. Запишем уравнение:

[ t_2 = t_1 + \frac{1}{3} ]

Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):

[ \frac{30}{v - 3} = \frac{30}{v} + \frac{1}{3} ]

Теперь умножим все уравнение на 3v(v - 3), чтобы избавиться от дробей:

[ 3v(30) = 3(v - 3)(30) + v(v - 3) ]

Раскроем скобки:

[ 90v = 90(v - 3) + v^2 - 3v ]

Упростим правую часть:

[ 90v = 90v - 270 + v^2 - 3v ]

Сократим ( 90v ) с обеих сторон:

[ 0 = v^2 - 3v - 270 ]

Теперь решим квадратное уравнение ( v^2 - 3v - 270 = 0 ). Используем формулу корней квадратного уравнения:

[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1, b = -3, c = -270 ):

[ v = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270)}}{2 \cdot 1} ]

[ v = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 1080}}{2} ]

[ v = \frac{3 \pm \sqrt{1089}}{2} ]

[ \sqrt{1089} = 33 ]

Теперь подставим значение:

[ v = \frac{3 \pm 33}{2} ]

Это дает два возможных значения:

1. ( v = \frac{36}{2} = 18 ) км/ч
2. ( v = \frac{-30}{2} = -15 ) км/ч (это значение не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной)

Таким образом, скорость велосипедиста на пути к станции составляет:

[ \boxed{18} \text{ км/ч} ]

Теперь проверим, соответствует ли это условию задачи:

• На пути к станции (с скоростью 18 км/ч):

[ t_1 = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \text{ ч} \approx 1.67 \text{ ч} ]

• На обратном пути (с скоростью 15 км/ч):

[ t_2 = \frac{30}{15} = 2 \text{ ч} ]

Разница во времени:

[ t_2 - t_1 = 2 - \frac{5}{3} = 2 - 1.67 = \frac{1}{3} \text{ ч} = 20 \text{ мин} ]

Условие задачи выполнено, значит ответ правильный.