Ваня забыл последние 4 цифры телефонного номера, помнил только, что все цифры разные и среди них есть...

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться комбинаторикой. Поскольку у нас есть всего 4 цифры, они могут быть любыми, кроме 0 и 9 (так как 9 уже известно). Таким образом, у нас есть 8 возможных вариантов для каждой из 4 позиций в номере.

Чтобы найти общее количество возможных номеров, которые Ване придется набрать, мы можем воспользоваться принципом умножения. У нас есть 8 вариантов для первой цифры, 7 вариантов для второй, 6 вариантов для третьей и 5 вариантов для четвертой.

Таким образом, общее количество номеров, которые Ване придется набрать, равно: 8 7 6 * 5 = 1680

Итак, Ване придется набрать 1680 номеров, чтобы найти правильный номер телефона.

Чтобы определить максимальное число телефонных номеров, которые Ване придется набрать, нужно рассмотреть все возможные комбинации из четырёх различных цифр, среди которых обязательно присутствует цифра 9.

1. Общее количество цифр, которые Ваня может использовать: В нашем случае это цифры от 0 до 9, всего 10 цифр.

2. Количество различных цифр, которые нужно выбрать: Поскольку Ваня помнит, что все цифры разные и среди них есть 9, нам нужно выбрать ещё 3 цифры из оставшихся 9 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

3. Комбинации выбора цифр: Количество способов выбрать 3 цифры из 9 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента: [ \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 ]

4. Перестановки цифр: Каждая выбранная комбинация из 4 цифр (включая обязательную 9) может быть переставлена различными способами. Количество перестановок 4 цифр равно факториалу 4: [ 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 ]

5. Общее количество возможных номеров: Теперь умножим количество комбинаций на количество перестановок: [ 84 \cdot 24 = 2016 ]

Таким образом, максимальное число номеров, которые Ване придется набрать, составляет 2016.

Это и есть ответ: Ваня может набрать максимум 2016 различных номеров, чтобы найти правильный.