В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется...

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторикой и формулой для вычисления вероятности.

Шаг 1: Определение общего количества шаров

В урне всего 15 белых и 5 черных шаров, что в сумме дает: [ N = 15 + 5 = 20 \text{ шаров}. ]

Шаг 2: Определение необходимого количества шаров

Мы хотим найти вероятность того, что среди 5 отобранных шаров будет ровно 3 белых шара и 2 черных шара.

Шаг 3: Комбинации

Чтобы найти количество способов выбрать 3 белых шара из 15, используем биномиальный коэффициент: [ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455. ]

Теперь найдем количество способов выбрать 2 черных шара из 5: [ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10. ]

Шаг 4: Общее количество благоприятных исходов

Теперь умножим количество способов выбрать белые шары на количество способов выбрать черные шары: [ \text{Общее количество благоприятных исходов} = C(15, 3) \times C(5, 2) = 455 \times 10 = 4550. ]

Шаг 5: Общее количество способов выбрать 5 шаров из 20

Теперь найдем общее количество способов выбрать любые 5 шаров из 20: [ C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15504. ]

Шаг 6: Вычисление вероятности

Теперь мы можем найти вероятность того, что среди 5 отобранных шаров окажется ровно 3 белых шара: [ P(\text{ровно 3 белых}) = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{4550}{15504}. ]

Шаг 7: Упрощение дроби

Теперь упростим дробь, если это возможно. Для этого можно использовать деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (НОД). В данном случае, 4550 и 15504 не имеют простых делителей, кроме 1 (числа являются взаимно простыми), поэтому дробь уже в простейшем виде.

Ответ

Таким образом, вероятность того, что среди 5 отобранных шаров окажется ровно 3 белых шара, равна: [ P(\text{ровно 3 белых}) = \frac{4550}{15504} \approx 0.293. ]

Это значение можно округлить или оставить в виде дроби в зависимости от контекста задачи.

Рассмотрим задачу пошагово:

Условие:

В урне содержится 15 белых и 5 черных шаров, итого ( 15 + 5 = 20 ) шаров. Наудачу выбираются 5 шаров. Требуется найти вероятность того, что среди выбранных 5 шаров окажется ровно 3 белых шара.

Шаг 1. Определим общее количество способов выбрать 5 шаров из 20.

Общее число способов выбрать 5 шаров из 20 находится с помощью биномиального коэффициента:

[ C_{20}^5 = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504. ]

Шаг 2. Условие: ровно 3 белых шара.

Выбираем 3 белых шара из 15, а оставшиеся 2 шара — из 5 черных.

1. Количество способов выбрать 3 белых шара из 15: [ C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455. ]

2. Количество способов выбрать 2 черных шара из 5: [ C_{5}^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10. ]

Общее количество способов выбрать 3 белых и 2 черных шара: [ C{15}^3 \cdot C{5}^2 = 455 \cdot 10 = 4550. ]

Шаг 3. Вероятность события.

Вероятность того, что среди выбранных 5 шаров окажется ровно 3 белых, равна отношению количества благоприятных исходов к общему числу исходов:

[ P = \frac{C{15}^3 \cdot C{5}^2}{C_{20}^5} = \frac{4550}{15504}. ]

Упростим дробь: [ \frac{4550}{15504} = \frac{455}{1550} \approx 0.2935. ]

Ответ:

Вероятность того, что среди выбранных 5 шаров окажется ровно 3 белых, составляет примерно ( 0.2935 ) или ( 29.35\% ).