В треугольнике ABC угол С равен 90°, угол А равен 60°, ВС = 50 корень из 3 . Найдите АВ.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол A равен 60°. Это значит, что треугольник ABC является прямоугольным, и у нас есть следующие параметры:

• Угол A = 60°
• Угол C = 90°
• Сторона BC = 50√3

Мы можем найти угол B, используя тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

[ \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 60° - 90° = 30°. ]

Теперь у нас есть все углы треугольника:

• Угол A = 60°
• Угол B = 30°
• Угол C = 90°

Стороны треугольника ABC соответствуют углам следующим образом:

• Сторона, противоположная углу A (BC) = 50√3
• Сторона, противоположная углу B (AC) = AB
• Сторона, противоположная углу C (AB) = AC

В прямоугольном треугольнике с углом 30° и 60° существуют известные соотношения между сторонами:

• Сторона, противоположная углу 30° (AC) равна половине гипотенузы (AB).
• Сторона, противоположная углу 60° (BC) равна (\frac{\sqrt{3}}{2}) от гипотенузы.

Согласно данным, сторона BC (противоположная углу A) равна 50√3. Мы можем использовать соотношение:

[ BC = AB \cdot \sin(60°) = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Подставим значение BC:

[ 50\sqrt{3} = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Теперь решим это уравнение относительно AB:

1. Умножим обе стороны на 2:

[ 100\sqrt{3} = AB \cdot \sqrt{3}. ]

1. Теперь разделим обе стороны на (\sqrt{3}):

[ AB = 100. ]

Таким образом, длина стороны AB в треугольнике ABC равна 100.

В треугольнике ABC, где угол C равен 90° и угол A равен 60°, угол B будет равен 30° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°).

Согласно свойствам треугольника с углами 30°-60°-90°, стороны относятся как 1:√3:2. В данном случае сторона, противолежащая углу 30° (сторона AB), будет равна половине гипотенузы (стороны AC).

Сторона BC (противолежащая углу 60°) равна 50√3. По соотношению для треугольника 30°-60°-90°:

BC = AB * √3.

Следовательно, AB = BC / √3 = (50√3) / √3 = 50.

Таким образом, длина стороны AB равна 50.

В данном треугольнике ABC мы имеем следующую информацию:

• Угол ( \angle C = 90^\circ ), следовательно, это прямоугольный треугольник.
• Угол ( \angle A = 60^\circ ), следовательно, угол ( \angle B = 30^\circ ) (так как сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ), а ( 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ )).
• Катет ( BC = 50\sqrt{3} ), это катет, прилежащий к углу ( 30^\circ ).

Теперь найдем гипотенузу ( AB ).

Свойства прямоугольного треугольника с углами ( 30^\circ, 60^\circ ) и ( 90^\circ ):

В таком треугольнике:

1. Гипотенуза равна удвоенной длине катета, лежащего напротив угла ( 30^\circ ).
2. Катет, лежащий напротив угла ( 60^\circ ), равен ( \sqrt{3} ) раз длине катета, лежащего напротив угла ( 30^\circ ).

В нашем случае:

• Катет ( BC = 50\sqrt{3} ) лежит напротив угла ( 60^\circ ).
• Катет, лежащий напротив угла ( 30^\circ ), равен ( \frac{BC}{\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 50 ).

Гипотенуза ( AB ) в таком треугольнике равна удвоенной длине катета, лежащего напротив угла ( 30^\circ ): [ AB = 2 \cdot 50 = 100. ]

Ответ:

Гипотенуза ( AB = 100 ).