В состав профкома выбрали 10 человек. Среди них необходимо избрать председателя, его заместителя и секретаря....

Для решения этой задачи воспользуемся основными принципами комбинаторики. Нам нужно выбрать троих человек из 10, причем важен порядок, в котором они будут назначены на должности (председатель, заместитель и секретарь). Это означает, что мы имеем дело с размещениями.

Шаг 1. Определение размещений

Размещения — это упорядоченные выборки из множества. Формула для количества размещений ( A_n^k ) определяется как:

[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} ]

где:

• ( n ) — общее количество элементов (в нашем случае 10 человек),
• ( k ) — количество элементов, которые нужно выбрать (в нашем случае 3 должности).

Шаг 2. Расчет количества размещений

Подставляем значения ( n = 10 ) и ( k = 3 ) в формулу:

[ A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} ]

Теперь распишем ( 10! ) (факториал 10) до ( 7! ), чтобы сократить:

[ 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! ]

Сокращая ( 7! ) в числителе и знаменателе, остаётся:

[ A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 ]

Шаг 3. Интерпретация результата

Это означает, что существует 720 способов выбрать председателя, заместителя и секретаря из 10 человек.

Расширенные пояснения

• Почему мы используем размещения, а не сочетания?
  В отличие от сочетаний, где порядок не важен, в данной задаче порядок важен, так как одна и та же группа людей на разных должностях (например, Иван — председатель, Петр — заместитель, Анна — секретарь, и наоборот) — это разные варианты.

• Как это работает на практике?
  Первого человека мы выбираем на должность председателя — у нас 10 вариантов. После этого остаётся 9 человек, из которых мы выбираем заместителя. Затем остаётся 8 человек для должности секретаря. Таким образом, общее количество вариантов — это произведение ( 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 ).

Ответ: 720 способов.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться комбинаторикой.

У нас есть 10 человек, из которых нужно выбрать председателя, заместителя и секретаря. При этом важно учитывать, что каждую должность занимает отдельный человек, и порядок назначения имеет значение.

1. Выбор председателя: У нас есть 10 вариантов на выбор.
2. Выбор заместителя: После того, как председатель выбран, остаётся 9 человек, из которых мы можем выбрать заместителя.
3. Выбор секретаря: После выбора председателя и заместителя остаётся 8 человек, из которых мы можем выбрать секретаря.

Теперь мы можем перемножить количество вариантов для каждого выбора:

[ 10 \text{ (выбор председателя)} \times 9 \text{ (выбор заместителя)} \times 8 \text{ (выбор секретаря)} = 720. ]

Таким образом, количество способов избрания председателя, заместителя и секретаря из 10 человек составляет 720.