В результате подстановки t=3x+5 интеграл ∫2√3x+5dx приводится к виду

Подстановка переменной в интеграле — это распространённый приём, который позволяет упростить интегрирование сложных выражений. В данном случае у нас есть интеграл (\int 2\sqrt{3x+5} \, dx), и мы хотим упростить его с помощью подстановки (t = 3x + 5).

Шаги решения:

1. Выразим (x) через (t):

   Если (t = 3x + 5), то (3x = t - 5), следовательно, (x = \frac{t - 5}{3}).

2. Найдём производную (dt) относительно (dx):

   Дифференцируем выражение (t = 3x + 5) по (x): [ \frac{dt}{dx} = 3 \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{dt}{3} ]

3. Подставим (t) и (dx) в интеграл:

   Теперь подставим (t) и (dx) в интеграл: [ \int 2\sqrt{3x+5} \, dx = \int 2\sqrt{t} \cdot \frac{dt}{3} ]

   Это упрощается до: [ \frac{2}{3} \int \sqrt{t} \, dt ]

4. Выполним интегрирование:

   Интеграл (\int \sqrt{t} \, dt) равен: [ \int t^{1/2} \, dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} t^{3/2} + C ]

   где (C) — произвольная константа интегрирования.

5. Подставим назад (t = 3x + 5):

   Подставим (t) обратно: [ \frac{2}{3} \left(\frac{2}{3} (3x + 5)^{3/2} + C\right) = \frac{4}{9} (3x + 5)^{3/2} + C ]

Заключение:

Таким образом, в результате подстановки (t = 3x + 5) интеграл (\int 2\sqrt{3x+5} \, dx) приводится к виду: [ \frac{4}{9} (3x + 5)^{3/2} + C ] где (C) — константа интегрирования.

∫2√(3x+5)dx = ∫2√t * (1/3) dt, заменив 3x+5 = t

= (2/3) ∫√t dt = (2/3) (2/3) t^(3/2) + C = (4/9) * (3x+5)^(3/2) + C