В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата...

Для того чтобы рассчитать минимальный срок, на который следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж не превысил 3,6 млн рублей, нужно выполнить следующие шаги:

1. Предположим, что срок кредита составляет n лет.

2. Вычислим годовой платеж по кредиту на n-й год. Для этого найдем долг на июль n-го года, начиная с 8 млн рублей и применяя условия возврата кредита:

• Долг на январь n-го года: 8 млн * 1.25 = 10 млн рублей
• Выплата части долга с февраля по июнь n-го года (пусть это будет х млн рублей)
• Долг на июль n-го года: 10 млн - х млн рублей

1. Таким образом, годовой платеж на n-й год составляет х млн рублей.

2. Максимальный годовой платеж не должен превышать 3,6 млн рублей, поэтому уравнение будет выглядеть следующим образом:

х ≤ 3,6 млн

1. Теперь можно подставить найденное значение долга на июль n-го года в уравнение и решить его, чтобы получить минимальный срок кредита n.

Итак, ответ: минимальный срок кредита, чтобы наибольший годовой платеж не превысил 3,6 млн рублей, составляет 5 лет.

5 лет.

Для решения этой задачи давайте разберем все условия и построим математическую модель.

1. Обозначим сумму кредита ( S = 8 ) млн рублей.
2. Долг каждый январь возрастает на 25%, то есть увеличивается в 1.25 раза.
3. С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
4. В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Обозначим сумму долга в июле ( n )-го года как ( D_n ). Тогда:

[ D_0 = 8 \text{ млн рублей (начальная сумма кредита)} ]

Каждый январь долг возрастает на 25%, то есть:

[ D_{n+1} = 1.25 \cdot D_n - P_n ]

где ( P_n ) — это сумма, выплаченная в течение года (с февраля по июнь).

Из условия 4 следует, что:

[ D_{n+1} = D_n - d ]

где ( d ) — постоянная величина, на которую уменьшается долг каждый год в июле.

Объединим эти уравнения:

[ 1.25 \cdot D_n - P_n = D_n - d ]

Перепишем уравнение, чтобы выразить сумму выплат ( P_n ):

[ P_n = 1.25 D_n - D_n + d ]

[ P_n = 0.25 D_n + d ]

Максимальный годовой платеж не должен превышать 3.6 млн рублей, то есть:

[ P_n \leq 3.6 ]

Теперь нам нужно найти минимальный срок ( n ), чтобы все выплаты укладывались в ограничение. Для этого нам нужно рассчитать ( d ), учитывая, что ( D_{n+1} = D_n - d ) при ( D_n \to 0 ).

Используем последовательное уменьшение долга:

[ D_1 = 8 - d ]

[ D_2 = 8 - 2d ]

[ \vdots ]

[ D_n = 8 - nd ]

Долг должен стать нулевым к концу срока ( n ):

[ 8 - nd = 0 ]

[ nd = 8 ]

[ d = \frac{8}{n} ]

Теперь подставим ( d ) в неравенство для ( P_n ):

[ P_n = 0.25 D_n + d ]

Для наибольшего платежа ( P_0 ):

[ P_0 = 0.25 \times 8 + \frac{8}{n} ]

[ P_0 = 2 + \frac{8}{n} ]

[ 2 + \frac{8}{n} \leq 3.6 ]

[ \frac{8}{n} \leq 1.6 ]

[ 8 \leq 1.6n ]

[ n \geq \frac{8}{1.6} ]

[ n \geq 5 ]

Таким образом, минимальный срок кредита составляет 5 лет, чтобы наибольший годовой платеж не превышал 3.6 млн рублей.