В группе из 20 студентов 5 отличников. Выбирают наудачу 4 студента. Какова вероятность того, что 2 из...

Для решения задачи используем формулу вероятности:

[ P(A) = \frac{C(k, n) \cdot C(m, r)}{C(N, n)} ]

где:

• (N) — общее количество студентов (20),
• (n) — количество выбираемых студентов (4),
• (k) — количество отличников (5),
• (m) — количество не отличников (15),
• (r) — количество отличников, которых нужно выбрать (2).

Подсчитаем количество сочетаний:

• (C(5, 2)) — выбираем 2 отличника из 5,
• (C(15, 2)) — выбираем 2 не отличника из 15,
• (C(20, 4)) — выбираем 4 студента из 20.

Теперь вычислим:

[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 ] [ C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = 105 ] [ C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = 4845 ]

Теперь подставим значения в формулу вероятности:

[ P(A) = \frac{C(5, 2) \cdot C(15, 2)}{C(20, 4)} = \frac{10 \cdot 105}{4845} \approx 0.216 ]

Ответ: вероятность того, что 2 из 4 выбранных студентов будут отличниками, примерно равна 0.216 или 21.6%.

Чтобы найти вероятность того, что из 4 случайно выбранных студентов 2 окажутся отличниками, используем комбинаторные методы.

1. Обозначим количество студентов:

   • Всего студентов: ( N = 20 )
   • Количество отличников: ( K = 5 )
   • Количество студентов, которые не являются отличниками: ( N - K = 20 - 5 = 15 )
   • Количество выбираемых студентов: ( n = 4 )

2. Определим количество способов выбрать 2 отличников и 2 обычных студентов:

   • Количество способов выбрать 2 отличников из 5: [ C(K, 2) = C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 ]
   • Количество способов выбрать 2 обычных студентов из 15: [ C(N-K, 2) = C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 ]
   • Общее количество способов выбрать 2 отличников и 2 обычных студентов: [ C(K, 2) \times C(N-K, 2) = 10 \times 105 = 1050 ]

3. Определим общее количество способов выбрать 4 студента из 20: [ C(N, n) = C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845 ]

4. Теперь можем вычислить вероятность того, что из 4 выбранных студентов 2 будут отличниками: [ P(2 \text{ отличника}) = \frac{\text{Количество способов выбрать 2 отличников и 2 обычных}}{\text{Общее количество способов выбрать 4 студента}} = \frac{1050}{4845} ]

5. Упростим дробь: Для упрощения ( \frac{1050}{4845} ), можно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 1050 и 4845. В данном случае НОД равен 105. Делим числитель и знаменатель на 105: [ \frac{1050 \div 105}{4845 \div 105} = \frac{10}{46} = \frac{5}{23} ]

6. Ответ: Таким образом, вероятность того, что из 4 случайно выбранных студентов 2 окажутся отличниками, равна: [ P(2 \text{ отличника}) = \frac{5}{23} \approx 0.2174 \text{ или } 21.74\% ]

Рассмотрим задачу подробно.

Дано:

• Всего студентов: 20.
• Количество отличников: 5.
• Выбираем наудачу 4 студентов.
• Нужно найти вероятность того, что из выбранных 4 студентов ровно 2 — отличники.

Решение:

1. Общее количество способов выбрать 4 студентов из 20.

Выбираем 4 студентов из 20, используя формулу числа сочетаний:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, ]

где (n) — общее количество элементов, (k) — количество выбираемых элементов.

Для (n = 20) и (k = 4):

[ C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4845. ]

Таким образом, всего существует 4845 способов выбрать 4 студентов из 20.

2. Количество способов выбрать 2 отличников из 5.

Теперь определяем количество способов выбрать 2 отличников из 5:

[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10. ]

3. Количество способов выбрать 2 обычных студентов из 15.

Из оставшихся 15 студентов (не отличников) нужно выбрать 2:

[ C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105. ]

4. Общее количество благоприятных исходов.

Сочетая результаты из пунктов 2 и 3, определим количество способов, которыми можно выбрать именно 2 отличников и 2 обычных студентов:

[ \text{Благоприятные исходы} = C(5, 2) \cdot C(15, 2) = 10 \cdot 105 = 1050. ]

5. Вероятность.

Вероятность события вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству всех возможных исходов:

[ P = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество исходов}}. ]

Подставляем найденные значения:

[ P = \frac{1050}{4845}. ]

Сократим дробь:

[ P = \frac{70}{323}. ]

6. Ответ.

Вероятность того, что из выбранных 4 студентов ровно 2 окажутся отличниками, равна:

[ P = \frac{70}{323} \approx 0.2167 \, \text{(или около 21.67%)}. ]