В группе 25 человек,10 из них девушки. Для дежурства выбираютсь случайным образом 5 человек. Найти вероятность...

Для решения задачи о вероятности выбора не более двух девушек из пяти человек в группе, где 25 человек и 10 из них девушки, будем использовать биномиальное распределение и комбинаторику.

1. Общее количество способов выбрать 5 человек из 25:

   Используя формулу комбинаций $C(n,k$ ), где $n$ — общее количество элементов $вданномслучае25$, а $k$ — количество выбранных элементов $вданномслучае5$, найдем общее количество способов выбрать 5 человек из 25:

   $C(25,5)=\frac{25!}{5!(25-5)!}=\frac{25!}{5!\cdot 20!}$

2. Количество способов выбрать 0, 1 или 2 девушек из 5 человек:

   • 0 девушек и 5 парней:

     Количество способов выбрать 0 девушек из 10:

     $C(10,0)=1$

     Количество способов выбрать 5 парней из 15 $оставшихся$:

     $C(15,5)=\frac{15!}{5!\cdot 10!}$

     Общее количество способов:

     $C(10,0)\cdot C(15,5)=1\cdot \frac{15!}{5!\cdot 10!}$

   • 1 девушка и 4 парня:

     Количество способов выбрать 1 девушку из 10:

     $C(10,1)=10$

     Количество способов выбрать 4 парня из 15:

     $C(15,4)=\frac{15!}{4!\cdot 11!}$

     Общее количество способов:

     $C(10,1)\cdot C(15,4)=10\cdot \frac{15!}{4!\cdot 11!}$

   • 2 девушки и 3 парня:

     Количество способов выбрать 2 девушки из 10:

     $C(10,2)=\frac{10!}{2!\cdot 8!}$

     Количество способов выбрать 3 парня из 15:

     $C(15,3)=\frac{15!}{3!\cdot 12!}$

     Общее количество способов:

     $C(10,2)\cdot C(15,3)=\frac{10!}{2!\cdot 8!}\cdot \frac{15!}{3!\cdot 12!}$

3. Суммируем количество благоприятных исходов:

   • Для 0 девушек:

     $C(15,5)=\frac{15!}{5!\cdot 10!}$

   • Для 1 девушки:

     $C(10,1)\cdot C(15,4)=10\cdot \frac{15!}{4!\cdot 11!}$

   • Для 2 девушек:

     $C(10,2)\cdot C(15,3)=\frac{10!}{2!\cdot 8!}\cdot \frac{15!}{3!\cdot 12!}$

   Суммарное количество благоприятных исходов:

   $C(15,5)+C(10,1)\cdot C(15,4)+C(10,2)\cdot C(15,3)$

4. Общая вероятность:

   Вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

   $P(\text{не более 2 девушек})=\frac{C(15,5)+C(10,1)\cdot C(15,4)+C(10,2)\cdot C(15,3)}{C(25,5)}$

Теперь подставим числовые значения и произведем вычисления:

$C(25,5)=\frac{25!}{5!\cdot 20!}=53130$

$C(15,5)=\frac{15!}{5!\cdot 10!}=3003$

$C(10,1)\cdot C(15,4)=10\cdot \frac{15!}{4!\cdot 11!}=10\cdot 1365=13650$

$C(10,2)\cdot C(15,3)=\frac{10!}{2!\cdot 8!}\cdot \frac{15!}{3!\cdot 12!}=45\cdot 455=20475$

Суммарное количество благоприятных исходов:

$3003+13650+20475=37128$

Вероятность:

$P(\text{не более 2 девушек})=\frac{37128}{53130}\approx 0.6989$

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных для дежурства 5 человек будет не более двух девушек, составляет примерно 0.6989, или 69.89%.

Для решения этой задачи используем комбинаторику. Всего возможных способов выбрать 5 человек из 25 равно C$25,5$ = 53130.

Теперь посчитаем количество способов выбрать 5 человек, среди которых не более двух девушек. Это можно сделать следующим образом:

1. Выбрать 5 человек, среди которых нет девушек: C$15,5$ способов.
2. Выбрать 4 человека и 1 девушку: C$10,1$ * C$15,4$ способов.
3. Выбрать 3 человека и 2 девушки: C$10,2$ * C$15,3$ способов.

Таким образом, общее количество способов выбрать 5 человек, среди которых не более двух девушек, равно C$15,5$ + C$10,1$ C$15,4$ + C$10,2$ C$15,3$ = 3003 + 1500 + 450 = 4953.

Итак, вероятность того, что среди выбранных 5 человек не более двух девушек, равна отношению количества способов выбрать 5 человек без более чем двух девушек к общему количеству способов выбрать 5 человек из 25 человек: P = 4953 / 53130 ≈ 0.0932.

Итак, вероятность того, что среди выбранных 5 человек не более двух девушек составляет примерно 0.0932 или 9.32%.