В группе 25 человек,10 из них девушки. Для дежурства выбираютсь случайным образом 5 человек. Найти вероятность...

Для решения задачи о вероятности выбора не более двух девушек из пяти человек в группе, где 25 человек и 10 из них девушки, будем использовать биномиальное распределение и комбинаторику.

1. Общее количество способов выбрать 5 человек из 25:

   Используя формулу комбинаций ( C(n, k) ), где ( n ) — общее количество элементов (в данном случае 25), а ( k ) — количество выбранных элементов (в данном случае 5), найдем общее количество способов выбрать 5 человек из 25:

   [ C(25, 5) = \frac{25!}{5!(25-5)!} = \frac{25!}{5! \cdot 20!} ]

2. Количество способов выбрать 0, 1 или 2 девушек из 5 человек:

   • 0 девушек и 5 парней:

     Количество способов выбрать 0 девушек из 10:

     [ C(10, 0) = 1 ]

     Количество способов выбрать 5 парней из 15 (оставшихся):

     [ C(15, 5) = \frac{15!}{5! \cdot 10!} ]

     Общее количество способов:

     [ C(10, 0) \cdot C(15, 5) = 1 \cdot \frac{15!}{5! \cdot 10!} ]

   • 1 девушка и 4 парня:

     Количество способов выбрать 1 девушку из 10:

     [ C(10, 1) = 10 ]

     Количество способов выбрать 4 парня из 15:

     [ C(15, 4) = \frac{15!}{4! \cdot 11!} ]

     Общее количество способов:

     [ C(10, 1) \cdot C(15, 4) = 10 \cdot \frac{15!}{4! \cdot 11!} ]

   • 2 девушки и 3 парня:

     Количество способов выбрать 2 девушки из 10:

     [ C(10, 2) = \frac{10!}{2! \cdot 8!} ]

     Количество способов выбрать 3 парня из 15:

     [ C(15, 3) = \frac{15!}{3! \cdot 12!} ]

     Общее количество способов:

     [ C(10, 2) \cdot C(15, 3) = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot \frac{15!}{3! \cdot 12!} ]

3. Суммируем количество благоприятных исходов:

   • Для 0 девушек:

     [ C(15, 5) = \frac{15!}{5! \cdot 10!} ]

   • Для 1 девушки:

     [ C(10, 1) \cdot C(15, 4) = 10 \cdot \frac{15!}{4! \cdot 11!} ]

   • Для 2 девушек:

     [ C(10, 2) \cdot C(15, 3) = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot \frac{15!}{3! \cdot 12!} ]

   Суммарное количество благоприятных исходов:

   [ C(15, 5) + C(10, 1) \cdot C(15, 4) + C(10, 2) \cdot C(15, 3) ]

4. Общая вероятность:

   Вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

   [ P(\text{не более 2 девушек}) = \frac{C(15, 5) + C(10, 1) \cdot C(15, 4) + C(10, 2) \cdot C(15, 3)}{C(25, 5)} ]

Теперь подставим числовые значения и произведем вычисления:

[ C(25, 5) = \frac{25!}{5! \cdot 20!} = 53130 ]

[ C(15, 5) = \frac{15!}{5! \cdot 10!} = 3003 ]

[ C(10, 1) \cdot C(15, 4) = 10 \cdot \frac{15!}{4! \cdot 11!} = 10 \cdot 1365 = 13650 ]

[ C(10, 2) \cdot C(15, 3) = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot \frac{15!}{3! \cdot 12!} = 45 \cdot 455 = 20475 ]

Суммарное количество благоприятных исходов:

[ 3003 + 13650 + 20475 = 37128 ]

Вероятность:

[ P(\text{не более 2 девушек}) = \frac{37128}{53130} \approx 0.6989 ]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных для дежурства 5 человек будет не более двух девушек, составляет примерно 0.6989, или 69.89%.

Для решения этой задачи используем комбинаторику. Всего возможных способов выбрать 5 человек из 25 равно C(25,5) = 53130.

Теперь посчитаем количество способов выбрать 5 человек, среди которых не более двух девушек. Это можно сделать следующим образом:

1. Выбрать 5 человек, среди которых нет девушек: C(15,5) способов.
2. Выбрать 4 человека и 1 девушку: C(10,1) * C(15,4) способов.
3. Выбрать 3 человека и 2 девушки: C(10,2) * C(15,3) способов.

Таким образом, общее количество способов выбрать 5 человек, среди которых не более двух девушек, равно C(15,5) + C(10,1) C(15,4) + C(10,2) C(15,3) = 3003 + 1500 + 450 = 4953.

Итак, вероятность того, что среди выбранных 5 человек не более двух девушек, равна отношению количества способов выбрать 5 человек без более чем двух девушек к общему количеству способов выбрать 5 человек из 25 человек: P = 4953 / 53130 ≈ 0.0932.

Итак, вероятность того, что среди выбранных 5 человек не более двух девушек составляет примерно 0.0932 или 9.32%.