В арифметической прогрессии a6 = 12, a16 = 100. Найдите сумму двенадцати первых членов прогрессии

Чтобы найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, сначала определим её параметры. В арифметической прогрессии ( a_n ) можно выразить через первый член ( a_1 ) и разность ( d ):

[ a_n = a_1 + (n-1)d ]

Из условия задачи нам известны два члена прогрессии:

1. ( a_6 = 12 )
2. ( a_{16} = 100 )

Запишем уравнения для этих членов:

[ a_6 = a1 + 5d = 12 \quad (1) ] [ a{16} = a_1 + 15d = 100 \quad (2) ]

Теперь решим систему из двух уравнений (1) и (2). Выразим ( a_1 ) из первого уравнения:

[ a_1 = 12 - 5d \quad (3) ]

Подставим (3) во второе уравнение:

[ 12 - 5d + 15d = 100 ] [ 12 + 10d = 100 ] [ 10d = 100 - 12 ] [ 10d = 88 ] [ d = 8.8 ]

Теперь подставим значение ( d ) обратно в (3), чтобы найти ( a_1 ):

[ a_1 = 12 - 5 \cdot 8.8 ] [ a_1 = 12 - 44 ] [ a_1 = -32 ]

Теперь мы знаем первый член ( a_1 = -32 ) и разность ( d = 8.8 ). Теперь можем найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии.

Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии ( S_n ) вычисляется по формуле:

[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) ]

Где ( a_n ) – это ( n )-й член прогрессии, который можно найти по формуле:

[ a_n = a_1 + (n-1)d ]

Подставим ( n = 12 ):

[ a_{12} = a1 + 11d = -32 + 11 \cdot 8.8 ] [ a{12} = -32 + 96.8 = 64.8 ]

Теперь подставим ( a1 ) и ( a{12} ) в формулу для суммы:

[ S_{12} = \frac{12}{2} (-32 + 64.8) = 6 \cdot 32.8 = 196.8 ]

Таким образом, сумма двенадцати первых членов арифметической прогрессии равна ( 196.8 ).

Давайте разберем задачу пошагово.

Дано:

• ( a_6 = 12 ) — шестой член арифметической прогрессии равен 12.
• ( a_{16} = 100 ) — шестнадцатый член равен 100.

Нужно найти сумму первых 12 членов прогрессии (( S_{12} )).

Основные формулы арифметической прогрессии:

1. Формула общего члена: [ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d, ] где ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( d ) — разность прогрессии.

2. Формула суммы первых ( n ) членов: [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n). ]

Шаг 1: Используем формулу для общего члена

Подставим данные о ( a6 ) и ( a{16} ) в формулу ( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d ).

Для ( a_6 ): [ 12 = a_1 + (6-1) \cdot d, ] [ 12 = a_1 + 5d. \tag{1} ]

Для ( a_{16} ): [ 100 = a_1 + (16-1) \cdot d, ] [ 100 = a_1 + 15d. \tag{2} ]

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Из уравнений (1) и (2) вычтем первое из второго: [ (100 - 12) = (a_1 + 15d) - (a_1 + 5d), ] [ 88 = 10d. ] Отсюда: [ d = 8.8. ]

Теперь подставим ( d = 8.8 ) в уравнение (1), чтобы найти ( a_1 ): [ 12 = a_1 + 5 \cdot 8.8, ] [ 12 = a_1 + 44, ] [ a_1 = 12 - 44 = -32. ]

Шаг 3: Найдем сумму первых 12 членов (( S_{12} ))

Для суммы используем формулу: [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n). ]

Здесь ( n = 12 ), ( a1 = -32 ), а ( a{12} ) можно найти по формуле общего члена: [ a_{12} = a1 + (12-1) \cdot d, ] [ a{12} = -32 + 11 \cdot 8.8, ] [ a{12} = -32 + 96.8, ] [ a{12} = 64.8. ]

Теперь подставим всё в формулу суммы: [ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (a1 + a{12}), ] [ S{12} = 6 \cdot (-32 + 64.8), ] [ S{12} = 6 \cdot 32.8, ] [ S_{12} = 196.8. ]

Ответ:

Сумма первых 12 членов арифметической прогрессии равна ( S_{12} = 196.8 ).