Упростите выражение сos5a - cosa/sina+sin5a

Для упрощения выражения (\cos 5a - \cos a / \sin a + \sin 5a) можно воспользоваться тригонометрическими идентичностями, но общая форма упрощения может быть сложной. Однако, если записать это в более удобном виде, можно заметить, что:

[ \cos 5a - \frac{\cos a}{\sin a} + \sin 5a = \cos 5a + \sin 5a - \cot a ]

Если требуется дальнейшее упрощение, может понадобиться больше информации о значениях угла (a).

Давайте упростим выражение:

[ \frac{\cos 5a - \cos a}{\sin a + \sin 5a}. ]

Для упрощения мы используем тригонометрические формулы, такие как формулы разности косинусов и суммы синусов. Разберемся с каждым компонентом по порядку.

Шаг 1: Применение формулы разности косинусов

Для числителя, (\cos 5a - \cos a), используем формулу разности косинусов:

[ \cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x - y}{2}\right). ]

Здесь (x = 5a) и (y = a). Подставим эти значения:

[ \cos 5a - \cos a = -2 \sin\left(\frac{5a + a}{2}\right) \sin\left(\frac{5a - a}{2}\right). ]

Упростим выражения в скобках:

[ \frac{5a + a}{2} = 3a, \quad \frac{5a - a}{2} = 2a. ]

Таким образом:

[ \cos 5a - \cos a = -2 \sin(3a) \sin(2a). ]

Шаг 2: Применение формулы суммы синусов

Для знаменателя, (\sin a + \sin 5a), используем формулу суммы синусов:

[ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right). ]

Подставим (x = 5a) и (y = a). Тогда:

[ \sin a + \sin 5a = 2 \sin\left(\frac{5a + a}{2}\right) \cos\left(\frac{5a - a}{2}\right). ]

Упростим выражения в скобках:

[ \frac{5a + a}{2} = 3a, \quad \frac{5a - a}{2} = 2a. ]

Таким образом:

[ \sin a + \sin 5a = 2 \sin(3a) \cos(2a). ]

Шаг 3: Подстановка и упрощение дроби

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:

[ \frac{\cos 5a - \cos a}{\sin a + \sin 5a} = \frac{-2 \sin(3a) \sin(2a)}{2 \sin(3a) \cos(2a)}. ]

Сократим общий множитель (2 \sin(3a)) (при условии, что (\sin(3a) \neq 0)):

[ \frac{\cos 5a - \cos a}{\sin a + \sin 5a} = \frac{-\sin(2a)}{\cos(2a)}. ]

Шаг 4: Замена через тангенс

Мы знаем, что (\frac{\sin(2a)}{\cos(2a)} = \tan(2a)). Поэтому:

[ \frac{\cos 5a - \cos a}{\sin a + \sin 5a} = -\tan(2a). ]

Ответ:

Упрощенное выражение:

[ \boxed{-\tan(2a)}. ]

Чтобы упростить выражение ( \cos 5a - \cos a / \sin a + \sin 5a ), начнем с разбиения его на более простые части и использования тригонометрических тождеств.

1. Приведем к общему знаменателю: Начнем с преобразования выражения: [ \cos 5a - \frac{\cos a}{\sin a} + \sin 5a = \cos 5a + \sin 5a - \frac{\cos a}{\sin a} ]

2. Используем основное тригонометрическое тождество: Мы можем воспользоваться тождеством ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ) для дальнейших преобразований. Однако в этом случае удобнее будет рассмотреть выражение ( \cos 5a + \sin 5a ) отдельно.

3. Применение формул приведения: Для упрощения ( \cos 5a ) и ( \sin 5a ) можно использовать формулы для пяти углов: [ \cos 5a = 16\cos^5 a - 20\cos^3 a + 5\cos a ] [ \sin 5a = 16\sin^5 a - 20\sin^3 a + 5\sin a ]

4. Соберем выражение: Подставим эти формулы в исходное выражение: [ \cos 5a + \sin 5a = (16\cos^5 a - 20\cos^3 a + 5\cos a) + (16\sin^5 a - 20\sin^3 a + 5\sin a) ]

5. Упрощение: Теперь мы можем упростить это выражение, группируя члены: [ = 16(\cos^5 a + \sin^5 a) - 20(\cos^3 a + \sin^3 a) + 5(\cos a + \sin a) ]

   Однако, мы можем заметить, что ( \cos^5 a + \sin^5 a ) и ( \cos^3 a + \sin^3 a ) можно выразить через ( \sin a ) и ( \cos a ) с помощью более простых тождеств.

   Используем формулы: [ \cos^3 a + \sin^3 a = (\cos a + \sin a)(\cos^2 a - \cos a \sin a + \sin^2 a) = (\cos a + \sin a)(1 - \cos a \sin a) ] [ \cos^5 a + \sin^5 a = (\cos a + \sin a)((\cos^2 a + \sin^2 a)^2 - 3\cos^2 a \sin^2 a) = (\cos a + \sin a)(1 - 3\cos^2 a \sin^2 a) ]

6. Подставляем и упрощаем: Однако, в данном случае, мы можем использовать упрощение более непосредственно. Объединим все части: [ \cos 5a + \sin 5a - \frac{\cos a}{\sin a} ]

7. Финальное выражение: После всех преобразований, конечное упрощенное выражение может быть записано как: [ \cos 5a + \sin 5a - \cot a ]

Таким образом, исходное выражение упрощается до: [ \cos 5a + \sin 5a - \cot a ]

Это заключительное выражение является более простым и удобным для дальнейшего анализа или вычислений.