Упростите выражение считая что переменные принимают только положительные значения корень 6 степени из...

Давайте упростим данное выражение шаг за шагом.

Исходное выражение:

[ \frac{\sqrt[6]{b^7} \cdot \sqrt{b^{-3}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^8}}} ]

1. Упростим числитель:

   • (\sqrt[6]{b^7} = b^{\frac{7}{6}})
   • (\sqrt{b^{-3}} = b^{-\frac{3}{2}})

   Тогда: [ \sqrt[6]{b^7} \cdot \sqrt{b^{-3}} = b^{\frac{7}{6}} \cdot b^{-\frac{3}{2}} = b^{\frac{7}{6} - \frac{9}{6}} = b^{-\frac{2}{6}} = b^{-\frac{1}{3}} ]

2. Упростим знаменатель:

   • (\sqrt[4]{b^8} = b^{\frac{8}{4}} = b^2)
   • (\sqrt[3]{b^2} = b^{\frac{2}{3}})

Таким образом, у нас есть:

[ \frac{b^{-\frac{1}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}} = b^{-\frac{1}{3} - \frac{2}{3}} = b^{-1} ]

Итак, итоговое упрощенное выражение:

[ \frac{1}{b} ]

Упростим данное выражение, действуя пошагово и используя свойства корней и степеней.

Дано выражение:

[ \sqrt[6]{b^7} \cdot \sqrt{b^{-3}} \div \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^8}} ]

1. Преобразуем каждый корень в степень

Напомним, что (\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}). Преобразуем все части выражения к степенному виду:

• (\sqrt[6]{b^7} = b^{7/6}),
• (\sqrt{b^{-3}} = b^{-3/2}),
• (\sqrt[4]{b^8} = b^{8/4} = b^2), так что (\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^8}} = \sqrt[3]{b^2} = b^{2/3}).

Теперь выражение примет вид:

[ b^{7/6} \cdot b^{-3/2} \div b^{2/3}. ]

2. Применяем свойство сложения и вычитания показателей степеней

Напомним основное правило для степеней: при умножении показателей складываются, а при делении — вычитаются. То есть:

[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}. ]

Сначала упростим произведение (b^{7/6} \cdot b^{-3/2}). Складываем показатели степеней:

[ \frac{7}{6} + \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{7}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}. ]

Таким образом, (b^{7/6} \cdot b^{-3/2} = b^{-1/3}).

Теперь рассмотрим деление на (b^{2/3}):

[ b^{-1/3} \div b^{2/3} = b^{-1/3 - 2/3} = b^{-3/3} = b^{-1}. ]

3. Ответ

Упрощённое выражение:

[ b^{-1} = \frac{1}{b}. ]

Итог:

Упрощённое выражение равно (\frac{1}{b}).

Давайте упростим данное выражение шаг за шагом, используя свойства корней и степени.

Исходное выражение: [ \frac{\sqrt[6]{b^7} \cdot \sqrt{b^{-3}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^8}}} ]

1. Упрощение корней:

   • Для (\sqrt[6]{b^7}): [ \sqrt[6]{b^7} = b^{7/6} ]

   • Для (\sqrt{b^{-3}}): [ \sqrt{b^{-3}} = b^{-3/2} ]

   • Для (\sqrt[4]{b^8}): [ \sqrt[4]{b^8} = b^{8/4} = b^2 ]

   • Теперь для (\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^8}}): [ \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^8}} = \sqrt[3]{b^2} = b^{2/3} ]

2. Подставим упрощенные выражения в исходное: [ \frac{b^{7/6} \cdot b^{-3/2}}{b^{2/3}} ]

3. Упрощение числителя:

   • Объединим степени в числителе: [ b^{7/6} \cdot b^{-3/2} = b^{7/6 - 3/2} ] Чтобы выполнить вычитание, приведем (-3/2) к общему знаменателю 6: [ -3/2 = -9/6 ] Таким образом: [ 7/6 - 9/6 = -2/6 = -1/3 ] Итак, числитель упрощается до: [ b^{-1/3} ]

4. Теперь у нас есть: [ \frac{b^{-1/3}}{b^{2/3}} ]

5. Упрощение дроби:

   • В числителе и знаменателе у нас одинаковая база (b), поэтому мы можем вычесть степени: [ b^{-1/3 - 2/3} = b^{-3/3} = b^{-1} ]

6. Записываем окончательный результат: [ b^{-1} = \frac{1}{b} ]

Таким образом, упрощенное выражение: [ \frac{1}{b} ]