Упростите выражение cos2a/(cosa+sina)-cosa

Для упрощения данного выражения сначала приведем его к общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель первого дробного слагаемого на (cosa - sina):

cos^2a / (cosa + sina) - cosa = (cos^2a (cosa - sina)) / ((cosa + sina) (cosa - sina)) - cosa

После упрощения получим:

= (cos^2a cosa - cos^2a sina) / (cosa^2 - sina^2) - cosa = (cos^3a - cos^2a sina) / (cosa^2 - sina^2) - cosa = (cos^3a - cos^2a sina) / (cos^2a - sin^2a) - cosa

Далее воспользуемся формулами тригонометрии:

cos^3a = cos^2a cos a = cos^2a (1 - sin^2a) = cos^2a - cos^2a sin^2a cos^2a sin^2a = cos^2a * (1 - cos^2a) = cos^2a - cos^4a

Подставим найденные значения:

= (cos^2a - cos^2a + cos^4a) / (cos^2a - sin^2a) - cosa = cos^4a / (cos^2a - sin^2a) - cosa

Таким образом, упрощенное выражение равно cos^4a / (cos^2a - sin^2a) - cosa.

Конечно, давайте упростим выражение (\frac{\cos 2a}{\cos a + \sin a} - \cos a).

1. Используем формулу для косинуса двойного угла: [ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a ] Подставим эту формулу в наше выражение: [ \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos a + \sin a} - \cos a ]

2. Разделим дробь: Разделим числитель (\cos^2 a - \sin^2 a) на знаменатель (\cos a + \sin a): [ \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos a + \sin a} ] Чтобы упростить это выражение, рассмотрим возможность разложения числителя на множители. Запишем числитель как разность квадратов: [ \cos^2 a - \sin^2 a = (\cos a + \sin a)(\cos a - \sin a) ]

3. Сокращение дроби: Теперь подставим это разложение в дробь: [ \frac{(\cos a + \sin a)(\cos a - \sin a)}{\cos a + \sin a} ] Знаменатель (\cos a + \sin a) сокращается: [ \cos a - \sin a ]

4. Собираем результат: Теперь вернемся к нашему исходному выражению и подставим упрощенную дробь: [ (\cos a - \sin a) - \cos a ]

5. Приводим подобные слагаемые: [ \cos a - \sin a - \cos a ] (\cos a) и (-\cos a) взаимно уничтожаются: [ -\sin a ]

Таким образом, упрощенное выражение будет: [ -\sin a ]