Упростите выражение: а) cos 2 a/cos a-sin a б)cos2 B+sin^2 B в)sin B/2 cos^2 B/2
Упростите выражение: а) cos 2 a/cos a-sin a б)cos2 B+sin^2 B в)sin B/2 cos^2 B/2
а) cos 2 a/cos a-sin a = 2cos^2(a) / cos(a) - sin(a) = 2cos(a) - sin(a) б) cos^2 B + sin^2 B = 1 в) sin(B/2) cos^2(B/2) = 1/2 sin(B) sin(B/2) = 1/2 sin(2B/2) = 1/2 sin(B)
а) Упростим выражение cos 2a/cos a - sin a: cos 2a = 2cos^2 a - 1 Тогда выражение примет вид: (2cos^2 a - 1)/cos a - sin a = 2cos a - cos a - sin a = cos a - sin a
б) Упростим выражение cos^2 B + sin^2 B: Используя тригонометрическое тождество, мы знаем, что cos^2 x + sin^2 x = 1. Таким образом, выражение равно 1.
в) Упростим выражение sin(B/2) cos^2(B/2): Используя тригонометрическое тождество sin 2x = 2sin x cos x, мы можем выразить sin(B/2) cos^2(B/2) как sin(B/2) cos(B/2) cos(B/2). Теперь мы можем использовать формулу половинного угла sin(2x) = 2sin(x) cos(x) для упрощения: sin(B/2) cos(B/2) cos(B/2) = 1/2 sin B Таким образом, упрощенное выражение равно 1/2 sin B.
Давайте рассмотрим каждый из указанных примеров и подробно разберем процесс их упрощения.
Для начала вспомним тригонометрическое тождество для двойного угла косинуса: [ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a ]
Теперь подставим это тождество в наше выражение: [ \frac{\cos 2a}{\cos a - \sin a} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos a - \sin a} ]
Для дальнейшего упрощения заметим, что числитель можно разложить на множители: [ \cos^2 a - \sin^2 a = (\cos a + \sin a)(\cos a - \sin a) ]
Таким образом, выражение становится: [ \frac{(\cos a + \sin a)(\cos a - \sin a)}{\cos a - \sin a} ]
Теперь мы можем сократить (\cos a - \sin a) в числителе и знаменателе: [ \frac{(\cos a + \sin a)(\cos a - \sin a)}{\cos a - \sin a} = \cos a + \sin a ]
Итак, упрощенное выражение: [ \cos a + \sin a ]
В этом случае вспоминаем основное тригонометрическое тождество: [ \cos^2 B + \sin^2 B = 1 ]
Таким образом, это выражение сводится к: [ 1 ]
Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрическим тождеством: [ \sin B = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} ]
Подставляем это тождество в наше выражение: [ \frac{\sin B}{2 \cos^2 \frac{B}{2}} = \frac{2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}}{2 \cos^2 \frac{B}{2}} ]
Теперь сократим (2 \cos \frac{B}{2}) в числителе и знаменателе: [ \frac{2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}}{2 \cos^2 \frac{B}{2}} = \frac{\sin \frac{B}{2}}{\cos \frac{B}{2}} ]
Мы знаем, что (\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x), поэтому: [ \frac{\sin \frac{B}{2}}{\cos \frac{B}{2}} = \tan \frac{B}{2} ]
Таким образом, упрощенное выражение: [ \tan \frac{B}{2} ]
Итак, результаты упрощения для каждого из заданных выражений: а) (\cos a + \sin a), б) (1), в) (\tan \frac{B}{2}).
