Упростите выражение 3/х-3 - х+15/х2-9 - 2/х

Для упрощения выражения ( \frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{x^2-9} - \frac{2}{x} ) начнем с анализа и преобразования каждого члена.

1. Заметим, что знаменатель второй дроби ( x^2-9 ) можно представить в виде разности квадратов: [ x^2-9 = (x-3)(x+3) ] Таким образом, вторая дробь уже имеет знаменатель ( (x-3)(x+3) ).

2. Перепишем все дроби с общим знаменателем ( (x-3)(x+3)x ): [ \frac{3}{x-3} = \frac{3(x+3)x}{(x-3)(x+3)x}, \quad \frac{x+15}{x^2-9} = \frac{x+15}{(x-3)(x+3)}, \quad \frac{2}{x} = \frac{2(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)x} ]

3. Теперь можно выразить все дроби с одним и тем же знаменателем и привести выражение к общему виду: [ \frac{3(x+3)x}{(x-3)(x+3)x} - \frac{x+15}{(x-3)(x+3)} - \frac{2(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)x} ] [ = \frac{3x(x+3) - (x+15) - 2(x^2-9)}{(x-3)(x+3)x} ]

4. Раскроем скобки в числителе: [ 3x(x+3) = 3x^2 + 9x, \quad -2(x^2-9) = -2x^2 + 18 ] Подставляем в выражение: [ = \frac{3x^2 + 9x - x - 15 - 2x^2 + 18}{(x-3)(x+3)x} ] [ = \frac{x^2 + 8x + 3}{(x-3)(x+3)x} ]

5. Проверим, можно ли упростить числитель дальше. Попытаемся разложить числитель на множители: Похоже, что числитель (x^2 + 8x + 3) не разложим на множители с целыми числами, поэтому оставим его в таком виде.

Итак, упрощенное выражение: [ \frac{x^2 + 8x + 3}{x(x-3)(x+3)} ]

Для упрощения данного выражения сначала нужно привести все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для данного выражения будет (х)(х+3)(х-3). Теперь приведем все дроби к общему знаменателю:

3/х - 3 = (3(х+3)(х-3))/(х(х+3)(х-3)) = (3х + 9 - 3х)/(х(х+3)(х-3)) = 9/(х(х+3)(х-3))

х + 15/х^2 - 9 - 2/х = (х^3 + 15(х)(х-3) - 9(х^2)(х) - 2(х)(х+3))/(х^2(х+3)(х-3)) = (х^3 + 15х^2 - 45х - 9х^2 - 18х - 2х^2 - 6)/ (х^2(х+3)(х-3)) = (х^3 + 4х^2 - 63х - 6)/(х^2(х+3)(х-3))

Теперь объединим две полученные дроби:

9/(х(х+3)(х-3)) + (х^3 + 4х^2 - 63х - 6)/(х^2(х+3)(х-3))

Далее можно провести сложение дробей, но ответ будет довольно громоздким.