Упростите выражение (2-x)(2+x)(4+x²)+(6-x²)² и найдите его значение при x= -1/2

Давайте упростим выражение ((2-x)(2+x)(4+x^2)+(6-x^2)^2) и найдем его значение при (x = -\frac{1}{2}).

Шаг 1: Упрощение выражения ((2-x)(2+x)(4+x^2))

Обратим внимание, что ((2-x)(2+x)) представляет собой разность квадратов: [ (2-x)(2+x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2 ]

Таким образом, исходное выражение упрощается до: [ (4 - x^2)(4 + x^2) ]

Теперь снова применим разность квадратов на выражении ((4 - x^2)(4 + x^2)): [ (4 - x^2)(4 + x^2) = 4^2 - (x^2)^2 = 16 - x^4 ]

Шаг 2: Упрощение выражения ((6-x^2)^2)

Раскрываем квадрат: [ (6 - x^2)^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot x^2 + (x^2)^2 = 36 - 12x^2 + x^4 ]

Шаг 3: Сложение полученных выражений

Теперь сложим полученные упрощенные выражения: [ 16 - x^4 + 36 - 12x^2 + x^4 ]

Обратите внимание, что (x^4) и (-x^4) сокращаются: [ 16 + 36 - 12x^2 = 52 - 12x^2 ]

Шаг 4: Подстановка (x = -\frac{1}{2})

Подставляем (x = -\frac{1}{2}) в упрощенное выражение (52 - 12x^2): [ 52 - 12\left(-\frac{1}{2}\right)^2 ]

Вычисляем (\left(-\frac{1}{2}\right)^2): [ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} ]

Вычисляем (12 \cdot \frac{1}{4}): [ 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 ]

Следовательно: [ 52 - 3 = 49 ]

Ответ

Упрощенное выражение равно (52 - 12x^2). Его значение при (x = -\frac{1}{2}) равно (49).

Для упрощения данного выражения сначала умножим многочлены (2-x)(2+x) и (4+x²), затем возведем разность (6-x²) в квадрат.

1. (2-x)(2+x) = 4 - x²
2. (4 + x²)(4 + x²) = 16 + 8x² + x⁴
3. (6 - x²)² = 36 - 12x² + x⁴

Теперь объединим все полученные выражения:

(4 - x²)(16 + 8x² + x⁴) + (36 - 12x² + x⁴)

Раскроем скобки:

64 - 4x² + 16x² + 8x⁴ - 4x² - 2x⁴ + 36 - 12x² + x⁴

Упростим:

8x⁴ + 11x⁴ - 4x² - 4x² - 12x² - 12x² + 64 + 36

19x⁴ - 20x² + 100

Теперь найдем значение этого выражения при x = -1/2:

19(-1/2)⁴ - 20(-1/2)² +100 19(1/16) - 20(1/4) + 100 19/16 - 5 + 100 19/16 - 80/16 + 1600/16 (19 - 80 + 1600)/16 (1619)/16 101.1875

Таким образом, значение выражения при x = -1/2 равно 101.1875.