Упростите выражение : 1/x+1 - 2/x-2 + 3/x^2-1

Чтобы упростить выражение ( \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x^2-1} ), мы сначала заметим, что ( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) ).

Теперь можно переписать выражение:

[ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-2} + \frac{3}{(x-1)(x+1)} ]

Общий знаменатель для всех дробей будет ( (x-2)(x-1)(x+1) ).

Теперь приводим все дроби к общему знаменателю:

[ \frac{1 \cdot (x-2)(x-1)}{(x+1)(x-2)(x-1)} - \frac{2 \cdot (x+1)(x-1)}{(x-2)(x+1)(x-1)} + \frac{3 \cdot (x-2)}{(x-1)(x+1)(x-2)} ]

Теперь упрощаем числитель:

[ (x-2)(x-1) - 2(x+1)(x-1) + 3(x-2) ]

Решив это, получим общий числитель. После упрощения числителя и сокращения дроби получится окончательный результат.

Конечный ответ будет зависеть от того, как именно упрощен числитель. Но общий подход к решению приведен.

Упростим данное выражение:

[ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x^2-1}. ]

Шаг 1. Обратите внимание на знаменатель ( x^2 - 1 )

Замечаем, что ( x^2 - 1 ) — это разность квадратов, поэтому можем разложить его на множители:

[ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1). ]

Таким образом, выражение становится:

[ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-2} + \frac{3}{(x+1)(x-1)}. ]

Шаг 2. Найдите общий знаменатель

Общий знаменатель для всех дробей будет произведением ( (x + 1)(x - 1)(x - 2) ), так как он включает все множители из знаменателей.

Шаг 3. Приведите все дроби к общему знаменателю

Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

1. Для (\frac{1}{x+1}): домножим числитель и знаменатель на ( (x-1)(x-2) ):

[ \frac{1}{x+1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x-1)(x-2)}. ]

1. Для (\frac{-2}{x-2}): домножим числитель и знаменатель на ( (x+1)(x-1) ):

[ -\frac{2}{x-2} = \frac{-2(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)(x-2)}. ]

1. Для (\frac{3}{(x+1)(x-1)}): домножим числитель и знаменатель на ( (x-2) ):

[ \frac{3}{(x+1)(x-1)} = \frac{3(x-2)}{(x+1)(x-1)(x-2)}. ]

Теперь выражение становится:

[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x-1)(x-2)} - \frac{2(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)(x-2)} + \frac{3(x-2)}{(x+1)(x-1)(x-2)}. ]

Шаг 4. Объедините дроби

Так как во всех дробях теперь общий знаменатель, объединим числители:

[ \frac{(x-1)(x-2) - 2(x+1)(x-1) + 3(x-2)}{(x+1)(x-1)(x-2)}. ]

Шаг 5. Раскройте скобки в числителе

Рассчитаем каждую часть числителя отдельно:

1. Раскроем ( (x-1)(x-2) ):

[ (x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2. ]

1. Раскроем ( -2(x+1)(x-1) ):

[ -2(x+1)(x-1) = -2(x^2 - 1) = -2x^2 + 2. ]

1. Раскроем ( 3(x-2) ):

[ 3(x-2) = 3x - 6. ]

Теперь числитель становится:

[ (x^2 - 3x + 2) + (-2x^2 + 2) + (3x - 6). ]

Шаг 6. Сложите подобные члены

Соберем все члены числителя:

• ( x^2 - 2x^2 = -x^2 ),
• ( -3x + 3x = 0 ),
• ( 2 + 2 - 6 = -2 ).

Числитель после упрощения:

[ -x^2 - 2. ]

Таким образом, выражение становится:

[ \frac{-x^2 - 2}{(x+1)(x-1)(x-2)}. ]

Ответ:

Упрощенное выражение:

[ \frac{-(x^2 + 2)}{(x+1)(x-1)(x-2)}. ]

Для упрощения данного выражения:

[ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x^2-1} ]

начнем с того, что заметим, что (x^2 - 1) можно разложить на множители:

[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) ]

Теперь перепишем исходное выражение с учетом этого разложения:

[ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-2} + \frac{3}{(x-1)(x+1)} ]

Теперь найдем общий знаменатель для всех трех дробей. Общий знаменатель будет:

[ (x+1)(x-2)(x-1) ]

Теперь преобразуем каждую дробь так, чтобы они имели этот общий знаменатель.

1. Для первой дроби:

[ \frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x-2)(x-1)}{(x+1)(x-2)(x-1)} = \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-2)(x-1)} ]

1. Для второй дроби:

[ -\frac{2}{x-2} = -\frac{2 \cdot (x+1)(x-1)}{(x-2)(x+1)(x-1)} = -\frac{2(x+1)(x-1)}{(x-2)(x+1)(x-1)} ]

1. Для третьей дроби:

[ \frac{3}{(x-1)(x+1)} = \frac{3 \cdot (x-2)}{(x-1)(x+1)(x-2)} = \frac{3(x-2)}{(x-1)(x+1)(x-2)} ]

Теперь, подставим все дроби в общее выражение:

[ \frac{(x-2)(x-1) - 2(x+1)(x-1) + 3(x-2)}{(x-1)(x+1)(x-2)} ]

Теперь упростим числитель:

1. Раскроем скобки:

[ (x-2)(x-1) = x^2 - 3x + 2 ] [ -2(x+1)(x-1) = -2(x^2 - 1) = -2x^2 + 2 ] [ 3(x-2) = 3x - 6 ]

Теперь сложим все вместе:

[ x^2 - 3x + 2 - 2x^2 + 2 + 3x - 6 ]

Соберем подобные члены:

[ (x^2 - 2x^2) + (-3x + 3x) + (2 + 2 - 6) = -x^2 + 0 - 2 = -x^2 - 4 ]

Таким образом, числитель упрощается до:

[ -x^2 - 4 ]

Теперь окончательное выражение будет:

[ \frac{-x^2 - 4}{(x-1)(x+1)(x-2)} ]

Можно вынести общий множитель из числителя:

[ \frac{-(x^2 + 4)}{(x-1)(x+1)(x-2)} ]

Таким образом, окончательный ответ:

[ \frac{-(x^2 + 4)}{(x-1)(x+1)(x-2)} ]