Упростите выражение ( 1/n^2-n +1/n^2+n)/ n+3/n^2-1

Для упрощения данного выражения ( \frac{1/n^2 - n + 1/n^2 + n}{n + \frac{3}{n^2 - 1}} ) начнем с приведения дробей и упрощения выражений в числителе и знаменателе.

1. Упростим выражение в числителе: [ 1/n^2 - n + 1/n^2 + n = \frac{1}{n^2} - n + \frac{1}{n^2} + n = \frac{2}{n^2} ] Таким образом, выражение в числителе упрощается до ( \frac{2}{n^2} ).

2. Рассмотрим выражение в знаменателе: [ n + \frac{3}{n^2 - 1} ] Для удобства приведем это к общему знаменателю: [ n + \frac{3}{n^2 - 1} = \frac{n(n^2 - 1) + 3}{n^2 - 1} = \frac{n^3 - n + 3}{n^2 - 1} ]

3. Теперь у нас есть выражение: [ \frac{\frac{2}{n^2}}{\frac{n^3 - n + 3}{n^2 - 1}} ] Для упрощения делим числитель на знаменатель: [ \frac{2}{n^2} \cdot \frac{n^2 - 1}{n^3 - n + 3} = \frac{2(n^2 - 1)}{n^3 - n + 3} ]

Таким образом, исходное выражение упрощается до: [ \frac{2(n^2 - 1)}{n^3 - n + 3} ]

Это конечный результат упрощения данного выражения. Эту дробь можно далее упрощать только в том случае, если найдутся общие множители в числителе и знаменателе (что зависит от конкретных значений ( n )), но в общем случае это конечное упрощенное выражение.

Для упрощения данного выражения сначала нужно привести все дроби к общему знаменателю. Для этого домножим каждую дробь на недостающие множители:

(1/n^2 - n + 1/n^2 + n) / (n + 3/n^2 - 1) = (n + 1 - n^2 + n^2) / ((n*(n^2-1))/(n^2) + 3 - 1)

Затем упростим числитель и знаменатель:

(n + 1) / (n(n^2-1)/(n^2)+2) = (n + 1) / (n(n+1)(n-1)/n^2 + 2) = (n + 1) / ((n^2+n)(n-1)/n^2 + 2) = (n + 1) / ((n^3-n+n^2+n)/n^2 + 2) = (n + 1) / ((n^3+2n)/n^2 + 2) = (n + 1) / (n+2) = 1

Таким образом, упрощенное выражение равно 1.