Упростите выражение 1) √2 sin (п/4+a) - cos a 2) √2 sin (a-п/4) - sin a 3) 2 cos (п/3-a) - √3 sin a...

1) Для упрощения данного выражения используем тригонометрические формулы: √2 sin (п/4+a) - cos a = √2(sin(п/4)cos(a) + cos(п/4)sin(a)) - cos(a) = √2(1/√2 cos(a) + 1/√2 sin(a)) - cos(a) = √2(cos(a) + sin(a)) - cos(a) = √2cos(a) + √2sin(a) - cos(a) = √2cos(a) + sin(a) - cos(a)

2) Аналогично, используя тригонометрические формулы: √2 sin (a-п/4) - sin a = √2(sin(a)cos(п/4) - cos(a)sin(п/4)) - sin(a) = √2(sin(a) 1/√2 - cos(a) 1/√2) - sin(a) = √2(sin(a) - cos(a)) - sin(a)

3) Применяем тригонометрические формулы: 2 cos (п/3-a) - √3 sin a = 2(cos(п/3)cos(a) + sin(п/3)sin(a)) - √3sin(a) = 2(1/2 cos(a) + √3/2 sin(a)) - √3sin(a) = cos(a) + √3sin(a) - √3sin(a) = cos(a)

4) Используем тригонометрические формулы: √3 cos a - 2 cos (a-п/6) = √3cos(a) - 2(cos(a)cos(п/6) + sin(a)sin(п/6)) = √3cos(a) - 2(cos(a) √3/2 + sin(a) 1/2) = √3cos(a) - √3cos(a) - sin(a) = -sin(a)

Таким образом, исходные выражения могут быть упрощены до более простых форм.

Давайте упростим каждое из выражений по очереди, используя тригонометрические тождества.

1) (\sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4} + a\right) - \cos a)

Используем формулу для синуса суммы углов: [ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y ] Подставим (x = \frac{\pi}{4}) и (y = a): [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos a + \cos\frac{\pi}{4} \sin a ] Так как (\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}), имеем: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a ] Умножим на (\sqrt{2}): [ \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \cos a + \sin a ] Теперь подставим это в выражение: [ \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) - \cos a = \cos a + \sin a - \cos a = \sin a ]

2) (\sqrt{2} \sin \left(a - \frac{\pi}{4}\right) - \sin a)

Используем формулу для синуса разности углов: [ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y ] Подставим (x = a) и (y = \frac{\pi}{4}): [ \sin\left(a - \frac{\pi}{4}\right) = \sin a \cos\frac{\pi}{4} - \cos a \sin\frac{\pi}{4} ] Так как (\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}), имеем: [ \sin\left(a - \frac{\pi}{4}\right) = \sin a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ] Умножим на (\sqrt{2}): [ \sqrt{2} \sin\left(a - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin a - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a\right) = \sin a - \cos a ] Теперь подставим это в выражение: [ \sqrt{2} \sin\left(a - \frac{\pi}{4}\right) - \sin a = \sin a - \cos a - \sin a = -\cos a ]

3) (2 \cos \left(\frac{\pi}{3} - a\right) - \sqrt{3} \sin a)

Используем формулу для косинуса разности углов: [ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y ] Подставим (x = \frac{\pi}{3}) и (y = a): [ \cos\left(\frac{\pi}{3} - a\right) = \cos\frac{\pi}{3} \cos a + \sin\frac{\pi}{3} \sin a ] Так как (\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}) и (\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}), имеем: [ \cos\left(\frac{\pi}{3} - a\right) = \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a ] Умножим на 2: [ 2 \cos\left(\frac{\pi}{3} - a\right) = \cos a + \sqrt{3} \sin a ] Теперь подставим это в выражение: [ 2 \cos\left(\frac{\pi}{3} - a\right) - \sqrt{3} \sin a = \cos a + \sqrt{3} \sin a - \sqrt{3} \sin a = \cos a ]

4) (\sqrt{3} \cos a - 2 \cos \left(a - \frac{\pi}{6}\right))

Используем формулу для косинуса разности углов: [ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y ] Подставим (x = a) и (y = \frac{\pi}{6}): [ \cos\left(a - \frac{\pi}{6}\right) = \cos a \cos\frac{\pi}{6} + \sin a \sin\frac{\pi}{6} ] Так как (\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}) и (\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}), имеем: [ \cos\left(a - \frac{\pi}{6}\right) = \cos a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin a \cdot \frac{1}{2} ] Умножим на 2: [ 2 \cos\left(a - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos a + \sin a ] Теперь подставим это в выражение: [ \sqrt{3} \cos a - 2 \cos\left(a - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos a - (\sqrt{3} \cos a + \sin a) = -\sin a ]

Таким образом, упрощенные выражения: 1) (\sin a) 2) (-\cos a) 3) (\cos a) 4) (-\sin a)